2010-山东卷理-11 单-函数

本题导读

本题考查超越函数 $y=2^x-x^2$ 图像的识别，核心在于通过零点个数、特殊点纵坐标及极限趋势快速排除错误选项。

📌【题干】

Question

（2010年山东卷(理)） 函数 $y=2^x-x^2$ 的图像大致是()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析特殊点：当 $x=0$ 时，$y=2^0-0=1>0$。
2. 分析零点：令 $2^x-x^2=0⟹2^x=x^2$。观察可知其零点有 $x=2,x=4$，以及一个负零点 $x_0\in (-1,0)$，即函数共有 $3$ 个零点。
3. 分析极限趋势：当 $x\to +\infty$ 时，指数增长远快于二次函数，故 $y\to +\infty$；当 $x\to -\infty$ 时，$2^x\to 0$，$y\approx -x^2\to -\infty$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

步骤一：分析 $y$ 轴截距（特殊点 $x=0$） 当 $x=0$ 时， $y=2^0-0^2=1>0$。 四个选项在 $y$ 轴截距均大于 $0$。

步骤二：分析方程的零点个数 令 $y=2^x-x^2=0$，即 $2^x=x^2$：

• 当 $x>0$ 时，直观可得解 $x=2$ 和 $x=4$；
• 当 $x<0$ 时，函数 $y=2^x$ 递增且大于 $0$，函数 $y=x^2$ 递减且大于 $0$，二者图像在负半轴有且仅有一个交点（位于区间 $(-1,0)$ 内）。

因此，函数 $y=2^x-x^2$ 在全定义域内共有 3 个零点（一个负零点，两个正零点）。 对应在图像上，函数图像与 $x$ 轴应有 3 个交点。

• 选项 B. 只有 1 个交点，排除；
• 选项 C. 只有 2 个交点，排除。

步骤三：分析趋近于 $-\infty$ 时的极限 当 $x\to -\infty$ 时： $2^x\to 0,x^2\to +\infty ⟹y=2^x-x^2\to -\infty$ 即当 $x$ 往负方向无限延伸时，图像应该趋于负无穷（往下延伸）。

• 选项 D. 当 $x\to -\infty$ 时图像往上趋于 $+\infty$，排除；
• 选项 A. 符合当 $x\to -\infty$ 时 $y\to -\infty$，且与 $x$ 轴有 3 个交点。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：根据函数解析式识别图像的综合能力。
2. 核心方法：“三看”原则——看对称与奇偶、看特殊点与零点、看极限与趋势。
3. 避坑指南：切勿盲目求导，对于 $y^{\prime }=2^x\ln 2-2x$，求导后超越方程 $2^x\ln 2-2x=0$ 较难直接求根，利用零点和极限能更快排除错误选项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自指数函数与幂函数增长速度的比测，体现“指数爆炸”特征。
2. 结论推广：对于 $f(x)=a^x-x^n(a>1,n>0)$，当 $x\to +\infty$ 时，指数函数 $a^x$ 的增长速度主导全函数，故 $f(x)\to +\infty$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性