2010-山东卷理-17 解-三角恒等

本题导读

本题考查利用三角恒等变换化简函数解析式，通过已知点坐标求解初相 $\phi$，并考查图象伸缩变换后在闭区间上的最值求解。

📌【题干】

Question

（2010年山东卷(理)） 已知函数 $f(x)=\frac{1}{2}\sin 2x\sin \phi +{\cos }^{2}x\cos \phi -\frac{1}{2}\sin \left(\frac{\pi }{2}+\phi \right)(0<\phi <\pi )$，其图象过点 $\left(\frac{\pi }{6},\frac{1}{2}\right)$.

(1) 求 $\phi$ 的值；

(2) 将函数 $y=f(x)$ 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$，纵坐标不变，得到函数 $y=g(x)$ 的图象，求函数 $g(x)$ 在 $\left[0,\frac{\pi }{4}\right]$ 上的最大值和最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 (1) 问：利用降幂公式 ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ 及诱导公式 $\sin \left(\frac{\pi }{2}+\phi \right)=\cos \phi$ 化简 $f(x)$，得到 $f(x)=\frac{1}{2}\cos (2x-\phi )$。代入点 $\left(\frac{\pi }{6},\frac{1}{2}\right)$，结合 $0<\phi <\pi$ 求解 $\phi$。
2. 第 (2) 问：根据伸缩变换求出 $g(x)=f(2x)=\frac{1}{2}\cos \left(4x-\frac{\pi }{3}\right)$。由 $x\in \left[0,\frac{\pi }{4}\right]$ 确定整体角 $4x-\frac{\pi }{3}$ 的范围，从而求出 $g(x)$ 的最值。

✅【答案】

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（1）由cos2𝑥=1+cos2𝑥2，且sin(π2+𝜑)=cos𝜑，得

✍【详细解析】

Abstract

(1) 化简 $f(x)$ 并求 $\phi$ 的值

利用诱导公式 $\sin \left(\frac{\pi }{2}+\phi \right)=\cos \phi$，以及降幂公式 ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$： $f(x)=\frac{1}{2}\sin 2x\sin \phi +\frac{1+\cos 2x}{2}\cos \phi -\frac{1}{2}\cos \phi$ $f(x)=\frac{1}{2}\sin 2x\sin \phi +\frac{1}{2}\cos 2x\cos \phi +\frac{1}{2}\cos \phi -\frac{1}{2}\cos \phi$ $f(x)=\frac{1}{2}(\cos 2x\cos \phi +\sin 2x\sin \phi )$ $f(x)=\frac{1}{2}\cos (2x-\phi )$

将点 $\left(\frac{\pi }{6},\frac{1}{2}\right)$ 代入 $f(x)$： $f\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}\cos \left(\frac{\pi }{3}-\phi \right)=\frac{1}{2}⟹\cos \left(\frac{\pi }{3}-\phi \right)=1$

因为 $0<\phi <\pi$，所以 $-\frac{2\pi }{3}<\frac{\pi }{3}-\phi <\frac{\pi }{3}$。 在此范围内，余弦值为 $1$ 的角只能为 $0$： $\frac{\pi }{3}-\phi =0⟹\phi =\frac{\pi }{3}$

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(2) 求函数 $g(x)$ 在 $\left[0,\frac{\pi }{4}\right]$ 上的最大值和最小值

由 (1) 知 $f(x)=\frac{1}{2}\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$。

将 $y=f(x)$ 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$，纵坐标不变，得到 $y=g(x)$ 的解析式为： $g(x)=f(2x)=\frac{1}{2}\cos \left(4x-\frac{\pi }{3}\right)$

当 $x\in \left[0,\frac{\pi }{4}\right]$ 时： $0\le 4x\le \pi ⟹-\frac{\pi }{3}\le 4x-\frac{\pi }{3}\le \frac{2\pi }{3}$

设 $t=4x-\frac{\pi }{3}$，当 $t\in \left[-\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}\right]$ 时，余弦函数 $\cos t$ 的取值范围为： $-\frac{1}{2}\le \cos t\le 1$

• 当 $t=0$（即 $x=\frac{\pi }{12}$）时，$\cos t$ 取得最大值 $1$，此时 $g(x{)}_{\max }=\frac{1}{2}\times 1=\frac{1}{2}$；
• 当 $t=\frac{2\pi }{3}$（即 $x=\frac{\pi }{4}$）时，$\cos t$ 取得最小值 $-\frac{1}{2}$，此时 $g(x{)}_{\min }=\frac{1}{2}\times \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}$。

故 $g(x)$ 在 $\left[0,\frac{\pi }{4}\right]$ 上的最大值为 $\frac{1}{2}$，最小值为 $-\frac{1}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两角差余弦公式的逆用及横坐标伸缩变换 $x\to \omega x$。
2. 核心方法：

• 降幂与诱导公式化简为单角三角函数；
• 整体代换法（换元法）确定复合角的范围求最值。

3. 避坑指南：第 (2) 问横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 时，应将 $x$ 替换为 $2x$（而非 $\frac{1}{2}x$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考三角函数解答题经典考法，涵盖“化简-求参-变换-求最值”完整流程。
2. 结论推广：对 $y=A\cos (\omega x+\varphi )+k$，在区间 $[a,b]$ 上的最值完全由整体角 $\omega x+\varphi$ 在该区间上的值域决定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数