2010-山东卷理-19 解-面面垂直

本题导读

本题考查空间立体几何综合应用。第一问利用底面平行四边形性质与余弦定理证线面垂直，进而证面面垂直；第二问建系通过法向量求线面角；第三问将底面多边形拆分计算四棱锥体积。

📌【题干】

Question

（2010年山东卷(理)） 如图，在五棱锥 $P-ABCDE$ 中，$PA\perp$ 平面 $ABCDE$，$AB\parallel CD$，$AC\parallel ED$，$AE\parallel BC$，$\angle ABC=45^{\circ }$，$AB=2\sqrt{2}$，$BC=2AE=4$，三角形 $PAB$ 是等腰三角形.

(1) 求证：平面 $PCD\perp$ 平面 $PAC$；

(2) 求直线 $PB$ 与平面 $PCD$ 所成角的大小；

(3) 求四棱锥 $P-ACDE$ 的体积.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：在 $△ABC$ 中，用余弦定理求出 $AC$ 的长度，并验证 $A{C}^2+C{D}^2=A{D}^2$ 或利用 $\angle ACB=90^{\circ }$。证出 $CD\perp AC$。再结合 $PA\perp CD$，得出 $CD\perp$ 平面 $PAC$，进而证得平面 $PCD\perp$ 平面 $PAC$。
2. 第 (2) 问：由于 $PA\perp AB$ 且 $△PAB$ 为等腰三角形，得 $PA=AB=2\sqrt{2}$。建立以 $A$ 为原点，以过 $A$ 垂直和平行于 $AC$ 的方向及 $AP$ 为坐标轴的空间直角坐标系，求出平面 $PCD$ 的法向量，用向量点积求线面角的正弦值及角度。
3. 第 (3) 问：四边形 $ACDE$ 为平行四边形，求出其面积 $S_{ACDE}$。因为 $PA$ 为高，利用 $V=\frac{1}{3}{S}_{ACDE}\cdot PA$ 计算体积。

✅【答案】

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所以𝑆𝐴𝐶𝐷𝐸= 3

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明：平面 $PCD\perp$ 平面 $PAC$

在 $△ABC$ 中，已知 $AB=2\sqrt{2}$，$BC=4$，$\angle ABC=45^{\circ }$。 由余弦定理： $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 45^{\circ }$ $A{C}^2=(2\sqrt{2}{)}^2+4^2-2\times 2\sqrt{2}\times 4\times \frac{\sqrt{2}}{2}=8+16-16=8⟹AC=2\sqrt{2}$

因为 $A{C}^2+A{B}^2=8+8=16=B{C}^2$， 由勾股定理逆定理得：$AC\perp AB$。

因为 $AB\parallel CD$，所以： $CD\perp AC$

又因为 $PA\perp$ 平面 $ABCDE$，$CD\subset$ 平面 $ABCDE$，所以： $PA\perp CD$

因为 $AC\cap PA=A$，且 $AC,PA\subset$ 平面 $PAC$， 所以 $CD\perp$ 平面 $PAC$。

因为 $CD\subset$ 平面 $PCD$， 所以平面 $PCD\perp$ 平面 $PAC$。

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(2) 求直线 $PB$ 与平面 $PCD$ 所成角的大小

因为 $PA\perp$ 平面 $ABCDE$，所以 $PA\perp AB$。 又 $△PAB$ 为等腰三角形，所以： $PA=AB=2\sqrt{2}$

由 (1) 知 $AC\perp AB$。以 $A$ 为坐标原点，射线 $AB$ 为 $x$ 轴正方向，射线 $AC$ 为 $y$ 轴正方向，射线 $AP$ 为 $z$ 轴正方向，建立空间直角坐标系 $A-xyz$：

各点坐标为：

• $A(0,0,0)$
• $B(2\sqrt{2},0,0)$
• $C(0,2\sqrt{2},0)$
• $P(0,0,2\sqrt{2})$

因为 $AB\parallel CD$ 且 $CD\perp AC$，在底面平面上 $CD$ 平行于 $x$ 轴，设 $D(x_D,2\sqrt{2},0)$。 因为 $AC\parallel ED$ 且 $AE\parallel BC$，四边形 $ACDE$ 为平行四边形： $\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{AC}=(0,2\sqrt{2},0)$ 已知 $AE=\frac{1}{2}BC=2$，向量 $\overrightarrow{AE}\parallel \overrightarrow{BC}=(-2\sqrt{2},2\sqrt{2},0)$， 解得 $E(-\sqrt{2},\sqrt{2},0)$，从而 $D(-\sqrt{2},3\sqrt{2},0)$。

求向量： $\overrightarrow{PB}=(2\sqrt{2},0,-2\sqrt{2})$ $\overrightarrow{CD}=(-\sqrt{2},0,0),\overrightarrow{PC}=(0,2\sqrt{2},-2\sqrt{2})$

设平面 $PCD$ 的法向量为 $\mathbf{n}=(x,y,z)$： $\{\begin{array}{l}\mathbf{n}\cdot \overrightarrow{CD}=-\sqrt{2}x=0⟹x=0\\ \mathbf{n}\cdot \overrightarrow{PC}=2\sqrt{2}y-2\sqrt{2}z=0⟹y=z\end{array}$

取 $y=1$，得法向量为： $\mathbf{n}=(0,1,1)$

设直线 $PB$ 与平面 $PCD$ 所成的角为 $\theta$，则： $\sin \theta =|\cos ⟨\overrightarrow{PB},\mathbf{n}⟩|=\frac{|\overrightarrow{PB}\cdot \mathbf{n}|}{|\overrightarrow{PB}|\cdot |\mathbf{n}|}$

计算点积与模长： $\overrightarrow{PB}\cdot \mathbf{n}=2\sqrt{2}\times 0+0\times 1+(-2\sqrt{2})\times 1=-2\sqrt{2}$ $|\overrightarrow{PB}|=\sqrt{(2\sqrt{2}{)}^2+0^2+(-2\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{8+8}=4$ $|\mathbf{n}|=\sqrt{0^2+1^2+1^2}=\sqrt{2}$

代入得： $\sin \theta =\frac{|-2\sqrt{2}|}{4\times \sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$

因为 $\theta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，所以直线 $PB$ 与平面 $PCD$ 所成角的大小为 $30^{\circ }$（或 $\frac{\pi }{6}$）。

---

(3) 求四棱锥 $P-ACDE$ 的体积

因为 $AC\parallel ED$ 且 $AE\parallel CD$（由 $AB\parallel CD$ 且 $AC\parallel ED$ 推得）， 所以四边形 $ACDE$ 是平行四边形。

在平行四边形 $ACDE$ 中，$AC=2\sqrt{2}$，高为 $CD$ 在 $AC$ 上的投影长度（即 $AE$ 在 $AB$ 上的投影长度）： 过 $E$ 作 $AC$ 的垂线，由 (2) 可知 $CD\perp AC$，平行四边形的高为 $CD=\sqrt{2}$。

面积： $S_{ACDE}=AC\times CD=2\sqrt{2}\times \sqrt{2}=4$

又因为 $PA\perp$ 平面 $ABCDE$，所以四棱锥 $P-ACDE$ 的高为 $PA=2\sqrt{2}$。

故四棱锥 $P-ACDE$ 的体积为： $V=\frac{1}{3}\times S_{ACDE}\times PA=\frac{1}{3}\times 4\times 2\sqrt{2}=\frac{8\sqrt{2}}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：面面垂直证明（线面垂直为桥梁）、空间向量求线面角正弦值、四棱锥体积计算。
2. 核心方法：勾股定理逆定理证垂直；建立空间直角坐标系将几何关系坐标化；底面积 $\times$ 高求解锥体体积。
3. 避坑指南：第 (3) 问计算底面 $ACDE$ 面积时，注意四边形 $ACDE$ 是平行四边形而非矩形，$CD$ 的长度需根据坐标差精确计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：立体几何经典五棱锥结构大题，考查空间几何体中平行与垂直关系的推导。
2. 结论推广：若平面图形中存在垂直关系且棱锥有垂直于底面的侧棱，建立空间坐标系是求解二面角与线面角的最稳妥方法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-江苏卷-16 解-线面平行与面面垂直
• 2012-新课标卷文-19 解-面面垂直与截面体积
• 2012-江苏卷-16 解-面面垂直与线面平行