2010-广东卷文-09 单-三视图正视图

本题导读

考查正视图。设 $AB=a$，则 $C{C}^{\prime }=a$，$B{B}^{\prime }=\frac{2}{3}a$，$A{A}^{\prime }=\frac{1}{3}a$。三棱柱 $ABC$ 底面在水平面，从正面看 $C^{\prime }$ 投影与 $C$ 重合（高 $a$），$B^{\prime }$、$A^{\prime }$ 依次缩短，正视图应为上边倾斜、下边水平的四边形，选 D。

📌【题干】

Question

（2010年广东卷(文)） 如图，$△ABC$ 为正三角形，$A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$，$C{C}^{\prime }\perp$ 平面 $ABC$，且 $3A{A}^{\prime }=\frac{3}{2}B{B}^{\prime }=C{C}^{\prime }=AB$，则多面体 $ABC-A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ 的正视图（也称主视图）是()

🔍【思路分析】

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1. 由 $3A{A}^{\prime }=\frac{3}{2}B{B}^{\prime }=C{C}^{\prime }=AB$ 定出 $A{A}^{\prime }:B{B}^{\prime }:C{C}^{\prime }=1:2:3$。
2. 正视图沿垂直于 $△ABC$ 某边的方向投影，比较各顶点高度。
3. $C{C}^{\prime }$ 最高且 $C{C}^{\prime }\perp$ 底面，故 $C^{\prime }$ 在 $C$ 正上方；$A^{\prime }$、$B^{\prime }$ 依次较低。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

设 $AB=a$，则 $C{C}^{\prime }=a$，$B{B}^{\prime }=\frac{2}{3}a$，$A{A}^{\prime }=\frac{1}{3}a$. 由于 $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$ 且 $C{C}^{\prime }\perp$ 平面 $ABC$，三条侧棱都垂直于底面. 从正面（沿垂直于 $AB$ 的方向）投影：底面正三角形 $△ABC$ 投影为一线段（或保持一定宽度）， 三个上顶点 $A^{\prime }$、$B^{\prime }$、$C^{\prime }$ 在各自下顶点正上方，高度分别为 $\frac{1}{3}a$、$\frac{2}{3}a$、$a$，自 $A^{\prime }$ 到 $C^{\prime }$ 依次升高. 故正视图为一个下边水平、上边倾斜（从低到高）的四边形，与选项 D 相符. 故选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三视图（正视图）

核心方法：由 $3A{A}^{\prime }=\frac{3}{2}B{B}^{\prime }=C{C}^{\prime }=AB$ 得侧棱比 $1:2:3$，正面投影上边倾斜、下边水平

避坑指南：正视图是沿某一方向的正投影，$C{C}^{\prime }\perp$ 底面使 $C^{\prime }$ 在 $C$ 正上方且最高；三个上顶点高度依次递增，不是平的。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三视图要”长对正、高平齐、宽相等”，正视图反映长与高。

结论推广：正视图（主视图）沿前后方向投影；各棱长度关系决定投影中各点相对高度。

方法推广：先把各侧棱长度按比例写清，再想象正面投影中上顶点连线的高低走势。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-12 填-三视图三棱柱体积
• 2009-新课标卷文-11 单-三视图全面积
• 2012-广东卷文-07 单-三视图求体积
• 2013-广东卷文-06 单-三视图体积