2008-新课标卷文-18 解-三视图体积线面平行

本题导读

考查三视图、体积与线面平行。俯视图为长 6、宽 4 的矩形且含线段 $FG$；多面体体积 $96-\frac{4}{3}=\frac{284}{3}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$；建系由 $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=2\overrightarrow{EG}$ 证 $B{C}^{\prime }\parallel$ 面 $EFG$。

📌【题干】

Question

（2008年新课标卷(文)） 如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图. 它的正视图和俯视图在下面画出（单位：cm）.

(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；

(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；

(3)在所给直观图中连结 $B{C}^{\prime }$，证明：$B{C}^{\prime }\parallel$ 面 $EFG$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1)俯视图的外轮廓为矩形，内部含截去部分的交线 $FG$。
2. (2)用长方体体积减去截去的三棱锥体积。
3. (3)建系后用向量平行证明线面平行。

✅【答案】

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(1)俯视图为长 $6$、宽 $4$ 的矩形，且含线段 $FG$；(2)$\frac{284}{3}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$；(3)证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1)俯视图的外轮廓为长 $6$ cm、宽 $4$ cm 的矩形. 在俯视图中，从顶点 $A$ 出发，分别在 $AB$、$AD$ 上取距 $A$ 为 $2$ cm 的点，记为 $F$、$G$，连接这两点得到线段 $FG$（表示截去部分与顶面交界的投影）. (2)建立空间直角坐标系，取 $A(0,0,0)$，$B(6,0,0)$，$D(0,4,0)$，$A^{\prime }(0,0,4)$，则长方体长、宽、高分别为 $6$、$4$、$4$ cm. 切去的角为三棱锥 $A^{\prime }EFG$，且 $A^{\prime }E=A^{\prime }F=A^{\prime }G=2$ cm，分别位于长方体三条互相垂直的棱上. $V_{长方体}=6\times 4\times 4=96\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3,V_{A^{\prime }EFG}=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 2\times 2\times 2=\frac{4}{3}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3.$ 故多面体体积 $V=96-\frac{4}{3}=\frac{284}{3}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3.$ (3)相关点坐标为 $B(6,0,0)$，$C^{\prime }(6,4,4)$，$E(0,0,2)$，$F(2,0,4)$，$G(0,2,4)$. $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=(0,4,4)=2(0,2,2)=2\overrightarrow{EG},$ 所以 $B{C}^{\prime }\parallel EG$. 又 $\overrightarrow{EF}=(2,0,2)$，$\overrightarrow{EG}=(0,2,2)$，平面 $EFG$ 的方程为 $x+y-z+2=0$，而 $6+0-0+2=8\ne 0$，故点 $B$ 不在平面 $EFG$ 上. 因此 $B{C}^{\prime }\parallel$ 平面 $EFG$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三视图、体积与线面平行

核心方法：俯视图为 $6\times 4$ 矩形含 $FG$；$V=96-\frac{4}{3}=\frac{284}{3}$；$\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=2\overrightarrow{EG}$ 证平行

避坑指南：俯视图的外轮廓是矩形，内部要有截去部分的交线 $FG$；体积用”长方体减三棱锥”；证线面平行用向量 $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=2\overrightarrow{EG}$ 加”$B$ 不在面内”。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三视图+体积+线面平行是立体几何解答题的标准结构，2009 新课标Ⅰ文第 11 题、2011 新课标Ⅰ文第 8 题同考三视图。

结论推广：$V_{三棱锥}=\frac{1}{3}\times$ 底面积 $\times$ 高；线面平行：线平行面内一条线且线不在面内。

方法推广：俯视图别忘了画截交线 $FG$；体积用”整体减局部”；向量证平行时说明”线不在平面内”才能下结论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-11 单-三视图全面积
• 2009-山东卷文-18 解-线面平行与面面垂直
• 2010-广东卷文-09 单-三视图正视图
• 2011-新课标卷文-08 单-三视图侧视图