2010-广东卷文-13 填-正弦定理内角和

本题导读

考查解三角形。由 $A+C=2B$ 且 $A+B+C=\pi$ 得 $3B=\pi$，$B=\frac{\pi }{3}$。由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，代入 $a=1,b=\sqrt{3}$ 得 $\sin A=\frac{1}{2}$。

📌【题干】

Question

（2010年广东卷(文)） 已知 $a,b,c$ 分别是 $△ABC$ 的三个内角 $A,B,C$ 所对的边. 若 $a=1$，$b=\sqrt{3}$，$A+C=2B$，则 $\sin A=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 由 $A+C=2B$ 和 $A+B+C=\pi$ 联立解出 $B$。
2. 用正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 求 $\sin A$。

✅【答案】

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$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $A+C=2B$ 及 $A+B+C=\pi$，得 $(A+C)+B=2B+B=3B=\pi ,故B=\frac{\pi }{3}.$ 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B},$ 代入 $a=1$，$b=\sqrt{3}$，$\sin B=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得 $\frac{1}{\sin A}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2,故\sin A=\frac{1}{2}.$ 故填 $\frac{1}{2}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理与内角和

核心方法：$A+C=2B$ 且 $A+B+C=\pi$ 得 $B=\frac{\pi }{3}$，再由 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 求 $\sin A$

避坑指南：内角和 $\pi$ 是隐藏条件；正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 代入要对应正确。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解三角形先用内角和或已知角关系定角，再用正余弦定理定边。

结论推广：$A+B+C=\pi$；正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$。

方法推广：遇到角的关系先消去一角，再用定理求目标量，注意 $\sin B$ 用特殊角值。

🔗【关联脉络】

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• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2009-广东卷文-07 单-正弦定理
• 2011-浙江卷文-05 单-正弦定理边角互化
• 2012-广东卷文-06 单-正弦定理解三角形
• 2012-北京卷文-11 填-正弦定理解三角形