2010-广东卷文-15 填-极坐标交点

本题导读

考查极坐标。$\rho (\cos \theta +\sin \theta )=1$ 即 $x+y=1$；$\rho (\sin \theta -\cos \theta )=1$ 即 $y-x=1$。联立得交点为 $(0,1)$，其极坐标为 $(1,\frac{\pi }{2})$。

📌【题干】

Question

（2010年广东卷(文)） 在极坐标系 $(\rho ,\theta )$（$0⩽\theta <2\pi$）中，曲线 $\rho (\cos \theta +\sin \theta )=1$ 与 $\rho (\sin \theta -\cos \theta )=1$ 的交点的极坐标为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 用 $x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$ 把两方程化为直角坐标方程。
2. 联立求交点直角坐标，再化为极坐标 $(\rho ,\theta )$（$\rho ⩾0$，$\theta \in [0,2\pi )$）。

✅【答案】

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$(1,\frac{\pi }{2})$

✍【详细解析】

Abstract

由 $x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$，得 $\rho (\cos \theta +\sin \theta )=1\Rightarrow x+y=1,\rho (\sin \theta -\cos \theta )=1\Rightarrow y-x=1.$ 联立 $\{\begin{array}{l}x+y=1,\\ y-x=1,\end{array}$ 解得 $x=0$，$y=1$. 点 $(0,1)$ 的极坐标为：$\rho =\sqrt{0^2+1^2}=1$，$\theta =\frac{\pi }{2}$，即 $(1,\frac{\pi }{2})$. 故填 $(1,\frac{\pi }{2})$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极坐标与直角坐标互化求交点

核心方法：两方程化为 $x+y=1$ 与 $y-x=1$，联立得 $(0,1)$，极坐标 $(1,\frac{\pi }{2})$

避坑指南：互化公式 $x=\rho \cos \theta$、$y=\rho \sin \theta$；$(0,1)$ 的极坐标 $\rho =1,\theta =\frac{\pi }{2}$，别把角度写成 $0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：极坐标方程求交点，常先化为直角坐标联立再化回。

结论推广：$x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$，${\rho }^2=x^2+y^2$；$(x,y)$ 化极坐标 $\rho =\sqrt{x^2+y^2}$、$\tan \theta =\frac{y}{x}$。

方法推广：交点求直角坐标后，注意 $\theta$ 的象限与取值范围（$0⩽\theta <2\pi$）。

🔗【关联脉络】

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