2012-广东卷文-14 填-参数方程与极坐标

本题导读

本题考查参数方程化普通方程，以及圆与直线的交点。

📌【题干】

Question

（2012年广东卷(文)） （选修 4-4：坐标系与参数方程）

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 的参数方程分别为 $\{\begin{array}{l}x=\sqrt{5}\cos \theta ,\\ y=\sqrt{5}\sin \theta \end{array}$（$\theta$ 为参数，$0⩽\theta ⩽\frac{\pi }{2}$）和 $\{\begin{array}{l}x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t,\\ y=-\frac{\sqrt{2}}{2}t\end{array}$（$t$ 为参数），则曲线 $C_1$ 与 $C_2$ 的交点坐标为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$C_2$ 消参得直线 $x-y=1$，与圆 $x^2+y^2=5$ 联立并取 $x,y⩾0$，交点为 $(2,1)$。

✅【答案】

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$(2,1)$

✍【详细解析】

Abstract

$C_1$：由 $x=\sqrt{5}\cos \theta$，$y=\sqrt{5}\sin \theta$ 得 $x^2+y^2=5$，且 $0⩽\theta ⩽\frac{\pi }{2}$ 表示第一象限（含坐标轴正向）的四分之一圆弧。

$C_2$：$x-1=-\frac{\sqrt{2}}{2}t$，$y=-\frac{\sqrt{2}}{2}t$，两式相减消去 $t$ 得 $x-1=y$，即直线 $x-y=1$。

联立 $\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=5,\\ x=y+1\end{array}$：$(y+1{)}^2+y^2=5$，即 $2y^2+2y-4=0$，$y^2+y-2=0$，解得 $y=1$ 或 $y=-2$。

$y=-2$ 时 $x=-1$，不满足 $x⩾0$，舍去；$y=1$ 时 $x=2$，满足 $x,y⩾0$。

所以交点坐标为 $(2,1)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：参数方程消参；圆的部分弧与直线的位置关系

核心方法：分别消参化为普通方程，联立后按 $C_1$ 的范围（$x,y⩾0$）取舍交点

避坑指南：$C_1$ 只是一段弧而不是整圆，$(-1,2)$ 在直线上也在圆上但不在弧上，必须舍去；消参时 $x-1$ 与 $y$ 相减（同为 $-\frac{\sqrt{2}}{2}t$），得到 $x-y=1$ 而非 $x+y=1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：参数方程交点题，与 2013 年广东卷文第 14 题、2015 年广东卷文第 14 题同族。

结论推广：消参常用两种手段：平方相加（三角参数）、代入消元（直线参数）。

方法推广：参数方程问题先各自化成普通方程，再把参数范围翻译成对 $x,y$ 的限制，最后筛交点。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷文-14 填-极坐标化参数方程
• 2015-广东卷文-14 填-极坐标参数方程
• 2013-湖北卷理-16 填-椭圆的参数方程与标准方程