2010-广东卷理-03 单-指数

本题导读

本题考查常见指数型组合函数的奇偶性判定，考查定义法的标准应用。

📌【题干】

Question

（2010年广东卷(理)） 若函数 $f(x)=3^x+3^{-x}$ 与 $g(x)=3^x-3^{-x}$ 的定义域均为 $\mathbf{R}$，则()

A. $f(x)$ 与 $g(x)$ 均为偶函数　　B. $f(x)$ 为偶函数，$g(x)$ 为奇函数

C. $f(x)$ 与 $g(x)$ 均为奇函数　　D. $f(x)$ 为奇函数，$g(x)$ 为偶函数

🔍【思路分析】

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1. 计算 $f(-x)$ 并与 $f(x)$ 比较正负关系。
2. 计算 $g(-x)$ 并与 $g(x)$ 比较正负关系。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为定义域均为 $\mathbf{R}$，关于原点对称：

对于 $f(x)=3^x+3^{-x}$： $f(-x)=3^{-x}+3^{-(-x)}=3^{-x}+3^x=f(x)$ 所以 $f(x)$ 为偶函数。

对于 $g(x)=3^x-3^{-x}$： $g(-x)=3^{-x}-3^{-(-x)}=3^{-x}-3^x=-(3^x-3^{-x})=-g(x)$ 所以 $g(x)$ 为奇函数。

故选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数奇偶性的定义与判别。
2. 核心方法：验证 $f(-x)=\pm f(x)$（定义法）。
3. 避坑指南：判断奇偶性前需先确认定义域是否关于原点对称；注意指数符号变换时的提负号细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自双曲函数 $\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$（偶函数）与 $\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$（奇函数）的初等变形。
2. 结论推广: 任意函数 $h(x)$ 在定义域对称时，均可唯一分解为一个偶函数 $\frac{h(x)+h(-x)}{2}$ 与一个奇函数 $\frac{h(x)-h(-x)}{2}$ 之和。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-21 解-指数型函数单调性
• 2011-上海卷理-20 解-指数函数
• 2011-北京卷文-18 解-含参指数函数最值