2010-广东卷理-04 单-等比数列

本题导读

本题考查等比数列基本量的计算、等差中项性质以及前 $n$ 项和公式的应用。

📌【题干】

Question

（2010年广东卷(理)） 已知数列 $\{a_n\}$ 为等比数列，$S_n$ 是它的前 $n$ 项和，若 $a_2\cdot a_3=2a_1$，且 $a_4$ 与 $2a_7$ 的等差中项为 $\frac{5}{4}$，则 $S_5=$()

A. $35$　　　　　　　B. $33$　　　　　　　C. $31$　　　　　　　D. $29$

🔍【思路分析】

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1. 利用等比数列性质 $a_2\cdot a_3=a_1\cdot a_4=2a_1$ 求得第四项 $a_4$ 的值。
2. 由等差中项公式 $a_4+2a_7=2\times \frac{5}{4}=\frac{5}{2}$ 求出 $a_7$，进而求出公比 $q$ 和首项 $a_1$。
3. 利用等比数列求和公式求出 $S_5$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设等比数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公比为 $q$。

由 $a_2\cdot a_3=a_1\cdot a_4=2a_1$（由于 $a_1\ne 0$），解得： $a_4=2$

因为 $a_4$ 与 $2a_7$ 的等差中项为 $\frac{5}{4}$，所以： $a_4+2a_7=2\times \frac{5}{4}=\frac{5}{2}$

将 $a_4=2$ 代入得： $2+2a_7=\frac{5}{2}⟹2a_7=\frac{1}{2}⟹a_7=\frac{1}{4}$

因为 $a_7=a_4\cdot q^3$，所以： $\frac{1}{4}=2q^3⟹q^3=\frac{1}{8}⟹q=\frac{1}{2}$

由 $a_4=a_1{q}^3=2⟹a_1\cdot \frac{1}{8}=2⟹a_1=16$。

所以前 $5$ 项和 $S_5$ 为： $S_5=\frac{a_1(1-q^5)}{1-q}=\frac{16\left(1-\frac{1}{32}\right)}{1-\frac{1}{2}}=32\times \frac{31}{32}=31$

故选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列通项公式、性质 $a_m{a}_n=a_p{a}_q$（$m+n=p+q$）、等差中项与求和公式。
2. 核心方法：基本量法（转化为首项 $a_1$ 与公比 $q$ 的方程）。
3. 避坑指南：注意“$a_4$ 与 $2a_7$ 的等差中项为 $\frac{5}{4}$”意味着 $a_4+2a_7=\frac{5}{2}$，不要遗漏系数 $2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 来源于必修五数列章节等差、等比数列性质交汇题。
2. 结论推广: 若已知等比数列两项 $a_m,a_n$，则公比 $q={\left(\frac{a_n}{a_m}\right)}^{\frac{1}{n-m}}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件
• 2011-浙江卷文-19 解-等差数列倒数成等比
• 2011-湖北卷文-17 解-等差等比数列