2010-广东卷理-10 填-立体几何

本题导读

本题考查空间向量加减法与数量积的坐标运算，属于基本运算题。

📌【题干】

Question

（2010年广东卷(理)） 若向量 $\mathbf{a}=(1,1,x)$，$\mathbf{b}=(1,2,1)$，$\mathbf{c}=(1,1,1)$，满足条件 $(\mathbf{c}-\mathbf{a})\cdot (2\mathbf{b})=-2$，则 $x=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 先求出向量 $\mathbf{c}-\mathbf{a}$ 和 $2\mathbf{b}$ 的坐标。
2. 利用向量数量积的坐标公式 $(\mathbf{c}-\mathbf{a})\cdot (2\mathbf{b})$ 列出关于 $x$ 的方程并求解。

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\mathbf{a}=(1,1,x)$，$\mathbf{b}=(1,2,1)$，$\mathbf{c}=(1,1,1)$， 所以： $\mathbf{c}-\mathbf{a}=(1-1,1-1,1-x)=(0,0,1-x)$ $2\mathbf{b}=(2,4,2)$

根据数量积坐标公式： $(\mathbf{c}-\mathbf{a})\cdot (2\mathbf{b})=0\times 2+0\times 4+(1-x)\times 2=2(1-x)$

由已知 $(\mathbf{c}-\mathbf{a})\cdot (2\mathbf{b})=-2$，得： $2(1-x)=-2⟹1-x=-1⟹x=2$

故答案为 $2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间向量的坐标加减运算与数量积的坐标表示。
2. 核心方法：坐标代入法。
3. 避坑指南：计算向量减法 $\mathbf{c}-\mathbf{a}$ 时注意对应坐标顺序，避免看错符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自选修2-1空间向量与代数运算基础题。
2. 结论推广: 若空间向量 $\mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1),\mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2)$，则 $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积
• 2011-上海卷文-18 单-向量和与重心