2010-广东卷理-16 解-三角函数

本题导读

本题考查三角函数的周期、解析式确定及利用二倍角公式求值，考查逻辑推理与代数运算能力。

📌【题干】

Question

（2010年广东卷(理)） 已知函数 $f(x)=A\sin (3x+\phi )$ ($A>0,x\in (-\infty ,+\infty ),0<\phi <\pi$) 在 $x=\frac{\pi }{12}$ 时取得最大值 $4$.

(1) 求 $f(x)$ 的最小正周期；

(2) 求 $f(x)$ 的解析式；

(3) 若 $f\left(\frac{2}{3}\alpha +\frac{\pi }{12}\right)=\frac{12}{5}$，求 $\sin \alpha$.

🔍【思路分析】

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1. 利用周期公式 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 计算最小正周期。
2. 由最大值确定 $A$，将 $x=\frac{\pi }{12}$ 代入最值条件，结合 $\phi$ 的范围确定 $\phi$。
3. 将 $\frac{2}{3}\alpha +\frac{\pi }{12}$ 代入解析式化简为 $\cos (2\alpha )$，再利用二倍角公式 $1-2{\sin }^2\alpha =\cos (2\alpha )$ 求出 $\sin \alpha$。

✅【答案】

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因此sin2 𝛼= 1 −cos 2𝛼2= 15,sin 𝛼= ±√55

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为 $\omega =3$，所以最小正周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{3}$。

(2) 函数最大值为 $4$，且 $A>0$，故 $A=4$。 由 $f(x)$ 在 $x=\frac{\pi }{12}$ 处取得最大值，得： $3\times \frac{\pi }{12}+\phi =\frac{\pi }{2}+2k\pi (k\in \mathbb{Z})$ 解得 $\phi =\frac{\pi }{4}+2k\pi$。 又因 $0<\phi <\pi$，故取 $k=0$，得 $\phi =\frac{\pi }{4}$。 所以 $f(x)$ 的解析式为 $f(x)=4\sin \left(3x+\frac{\pi }{4}\right)$。

(3) 将 $x=\frac{2}{3}\alpha +\frac{\pi }{12}$ 代入解析式得： $f\left(\frac{2}{3}\alpha +\frac{\pi }{12}\right)=4\sin \left[3\left(\frac{2}{3}\alpha +\frac{\pi }{12}\right)+\frac{\pi }{4}\right]=4\sin \left(2\alpha +\frac{\pi }{2}\right)=4\cos (2\alpha )$ 由题意得 $4\cos (2\alpha )=\frac{12}{5}$，即 $\cos (2\alpha )=\frac{3}{5}$。 由二倍角公式 $\cos (2\alpha )=1-2{\sin }^2\alpha$，得： $1-2{\sin }^2\alpha =\frac{3}{5}⟹{\sin }^2\alpha =\frac{1}{5}$ 解得 $\sin \alpha =\pm \frac{\sqrt{5}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦型函数的周期、初相计算与三角恒等变换。
2. 核心方法：诱导公式 $\sin \left(\theta +\frac{\pi }{2}\right)=\cos \theta$ 与二倍角公式的逆向应用。
3. 避坑指南：第 (3) 问未限制 $\alpha$ 的象限范围，解开平方根时需保留正负双解，切勿漏解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自人教A版必修四三角函数性质与三角恒等变换章节基础题型的综合集成。
2. 结论推广：若 $f(x)=A\sin (\omega x+\phi )$，则 $f(x+x_0)$ 在 $x_0$ 为极值点时可转化为余弦形式，即 $A\cos (\omega x)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数