2010-新课标卷文-06 单-圆周运动图象

本题导读

考查三角图象识别。$P$ 的纵坐标为 $2\sin \left(t-\frac{\pi }{4}\right)$，$d$ 为其绝对值；$t=0$ 时 $d=\sqrt{2}$，$t=\frac{\pi }{4}$ 时 $d=0$，选 C。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(文)） 如图，质点 $P$ 在半径为 $2$ 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 $P_0(\sqrt{2},-\sqrt{2})$，角速度为 $1$，那么点 $P$ 到 $x$ 轴的距离 $d$ 关于时间 $t$ 的函数图象大致为()

🔍【思路分析】

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1. $P_0$ 对应角 $-\frac{\pi }{4}$，$t$ 时刻角度为 $t-\frac{\pi }{4}$。
2. $d=2\left|\sin \left(t-\frac{\pi }{4}\right)\right|$。
3. $t=0$：$d=2\sin \frac{\pi }{4}=\sqrt{2}$；$t=\frac{\pi }{4}$：$d=0$。
4. 初值 $\sqrt{2}$ 且经 $\frac{\pi }{4}$ 首次到 $0$ 的只有 C。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

初始位置 $P_0(\sqrt{2},-\sqrt{2})$ 对应的圆心角为 $-\frac{\pi }{4}$。 质点以角速度 $1$ 逆时针运动，$t$ 时刻的纵坐标为 $2\sin \left(t-\frac{\pi }{4}\right)$， 故 $d=2\left|\sin \left(t-\frac{\pi }{4}\right)\right|$。 当 $t=0$ 时，$d=2\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$；当 $t=\frac{\pi }{4}$ 时，$d=0$。 图象过 $(0,\sqrt{2})$ 且在 $t=\frac{\pi }{4}$ 处首次取到 $0$，只有 C 符合，故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数图象的识别与圆周运动模型

核心方法：写出 $d=2\left|\sin \left(t-\frac{\pi }{4}\right)\right|$，用初值与零点筛选

避坑指南：初始位置 $P_0$ 在第四象限，初相是 $-\frac{\pi }{4}$ 不是 $\frac{\pi }{4}$；$d$ 是距离，图象在 $x$ 轴上方。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆周运动的角度 $=$ 初相 $+$ 角速度 $\times$ 时间，是三角函数模型的标准建构。

结论推广：识别图象用”特殊点法”：$t=0$ 的初值、首个零点的位置，两点即可定选项。

方法推广：绝对值把负半周翻折到上方，周期减半为 $\pi$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-06 单-函数图象识别
• 2009-大纲卷II文-09 单-正切图象平移重合
• 2009-天津卷文-07 单-三角图象平移对称
• 2009-新课标卷文-16 填-正弦图象定参求值