2010-新课标卷文-17 解-等差数列前n项和最值

本题导读

考查等差数列。（1）$d=-2$，$a_1=9$，$a_n=11-2n$；（2）$S_n=25-(n-5{)}^2$，$n=5$ 时最大，最大值为 $25$。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(文)） 设等差数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_3=5$，$a_{10}=-9$.

(1)求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2)求 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 及使得 $S_n$ 最大的序号 $n$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a_{10}-a_3=7d=-14$，$d=-2$，$a_1=9$。
2. $a_n=11-2n$。 3.（2）$S_n=\frac{n(9+11-2n)}{2}=n(10-n)=25-(n-5{)}^2$。
3. $n=5$ 时 $S_n$ 最大，最大值为 $25$。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $a_n=11-2n$

(2) $S_n=25-(n-5{)}^2$，$n=5$ 时 $S_n$ 取最大值 $25$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设首项为 $a_1$，公差为 $d$。由 $a_3=a_1+2d=5,a_{10}=a_1+9d=-9,$ 两式相减得 $7d=-14$，$d=-2$，进而 $a_1=9$。 所以 $a_n=9-2(n-1)=11-2n$。 （2）前 $n$ 项和 $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(9+11-2n)}{2}=n(10-n)=25-(n-5{)}^2.$ 因为 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，当 $n=5$ 时 $S_n$ 取得最大值 $25$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列通项与前 $n$ 项和的最值

核心方法：基本量法列方程组，$S_n$ 配方看顶点

避坑指南：$S_n$ 最大对应 $a_n$ 由正转负的临界：$a_5=1>0$，$a_6=-1<0$，$n=5$；配方结果 $25-(n-5{)}^2$ 顶点横坐标恰为整数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$a_3$ 与 $a_{10}$ 相差 $7d$，两式相减是求公差的最快路径。

结论推广：$S_n$ 是关于 $n$ 的二次函数且常数项为 $0$，最值在顶点或相邻整数处。

方法推广：判 $S_n$ 最大的另一法：找最后一个非负项 $a_n⩾0$ 的 $n$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-陕西卷文-13 填-等差数列通项
• 2009-新课标卷文-08 单-等差数列中项求和
• 2011-福建卷文-17 解-等差数列基本量
• 2012-四川卷文-20 解-由前n项和求通项与最值