2007-辽宁卷文-05 单-等差数列和的性质

本题导读

本题考查等差数列的前n项和，以及等差数列的性质。

📌【题干】

Question

（2007年辽宁卷(文)） 设等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $S_3=9$，$S_6=36$，则 $a_7+a_8+a_9=$ ()

A. $63$　　　　　　　B. $45$　　　　　　　C. $36$　　　　　　　D. $27$

🔍【思路分析】

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1. 法一（基本量）：$S_3=3a_1+3d$，$S_6=6a_1+15d$，解出 $a_1$，$d$。
2. 法二（性质）：$S_3$，$S_6-S_3$，$S_9-S_6$ 成等差数列。
3. $a_7+a_8+a_9=S_9-S_6$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

法一（基本量）：$\{\begin{array}{l}{S}_3=3a_1+3d=9,\\ S_6=6a_1+15d=36,\end{array}$ 即 $\{\begin{array}{l}{a}_1+d=3,\\ 2a_1+5d=12,\end{array}$ 解得 $a_1=1$，$d=2$． 于是 $S_9=9a_1+36d=9+72=81$，故 $a_7+a_8+a_9=S_9-S_6=81-36=45.$ 法二（性质）：等差数列中 $S_3$，$S_6-S_3$，$S_9-S_6$ 成等差数列，由 $S_3=9$，$S_6-S_3=27$ 得 $S_9-S_6=2\times 27-9=45,$ 选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列和的性质

核心方法：基本量方程组或 Sn 分段等差

避坑指南：S3、S6-S3、S9-S6 成等差是”每 3 项一段”的结构；a7+a8+a9 要写成 S9-S6，别当成 S9

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”等差数列的前 n 项和”

结论推广：等差数列中 S_k、S_2k-S_k、S_3k-S_2k 成等差，公差为 k²d

方法推广：凡 Sn 条件与某段和同时出现，优先用分段等差性质，避免解方程组

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练(Links)

• 2012-辽宁卷文-04 单-等差数列性质
• 2013-上海卷文-02 填-等差数列性质
• 2010-浙江卷文-19 解-等差数列前n项和
• 2010-新课标卷文-17 解-等差数列前n项和最值