2010-新课标卷理-04 单-绝对值不等式

本题导读

将物理匀速圆周运动与三角函数相结合，考查距离函数的解析式建立及其图像识别。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(理)） 如图，质点 $P$ 在半径为 $2$ 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 $P_0(\sqrt{2},-\sqrt{2})$，角速度为 $1$，那么点 $P$ 到 $x$ 轴的距离 $d$ 关于时间 $t$ 的函数图像大致为()

🔍【思路分析】

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1. 确定初始位置 $P_0$ 的极角（极坐标角）${\theta }_0=-\frac{\pi }{4}$。
2. 写出 $t$ 时刻质点 $P$ 的纵坐标 $y(t)=2\sin \left(t-\frac{\pi }{4}\right)$。
3. 点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为 $d=|y(t)|=\left|2\sin \left(t-\frac{\pi }{4}\right)\right|$。
4. 分析特殊点（$t=0$ 时的值及第一个零点）锁定图像。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

质点做半径 $R=2$，角速度 $\omega =1$ 的逆时针匀速圆周运动。

初始点 $P_0(\sqrt{2},-\sqrt{2})$ 满足： $\cos {\theta }_0=\frac{\sqrt{2}}{2},\sin {\theta }_0=-\frac{\sqrt{2}}{2}⟹{\theta }_0=-\frac{\pi }{4}$

$t$ 时刻质点所对应的转角为 $\theta (t)=t-\frac{\pi }{4}$，其纵坐标为： $y=2\sin \left(t-\frac{\pi }{4}\right)$

质点 $P$ 到 $x$ 轴的距离 $d$ 为纵坐标的绝对值： $d=|y|=\left|2\sin \left(t-\frac{\pi }{4}\right)\right|$

分析关键特征：

1. 当 $t=0$ 时：$d=\left|2\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)\right|=\sqrt{2}$，排除 A、D 选项。
2. 求第一个零点：令 $t-\frac{\pi }{4}=0⟹t=\frac{\pi }{4}$，此时 $d=0$。即图像在 $t=\frac{\pi }{4}$ 处首次触及 $x$ 轴，排除 B 选项。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦型函数图象与几何距离（绝对值）的结合。
2. 核心方法：特殊值/特殊点排除法，结合解析式分析。
3. 避坑指南：切记“距离”是非负量，纵坐标需加绝对值；注意初始角为负值或第四象限角。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自物理中的简谐运动与圆周运动投影问题。
2. 结论推广：平面直角坐标系中绕原点作匀速圆周运动的点到坐标轴距离函数，可表示为 $d=|R\sin (\omega t+{\phi }_0)|$ 或 $d=|R\cos (\omega t+{\phi }_0)|$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数