2010-新课标卷理-05 单-函数

本题导读

考查指数函数的单调性判定以及复合命题（或、与、非）真假性的逻辑推理。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(理)） 已知命题 $p_1$：函数 $y=2^x-2^{-x}$ 在 $\mathbb{R}$ 上为增函数；$p_2$：函数 $y=2^x+2^{-x}$ 在 $\mathbb{R}$ 上为减函数.则在命题 $q_1:p_1\vee p_2$，$q_2:p_1\wedge p_2$，$q_3:(\neg p_1)\vee p_2$ 和 $q_4:p_1\wedge (\neg p_2)$ 中，真命题是()

A. $q_1,q_3$　　　　B. $q_2,q_3$　　　　C. $q_1,q_4$　　　　D. $q_2,q_4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判断基础命题 $p_1$ 与 $p_2$ 的真假。
2. 根据复合命题的真值表（“或”有一真即真，“与”全真才真，“非”真假相反）判定 $q_1,q_2,q_3,q_4$ 的真假。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

判断基础命题真假： 对于 $p_1$：$y=2^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增， $y=-2^{-x}$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，故 $y=2^x-2^{-x}$ 为 $\mathbb{R}$ 上的增函数，命题 $p_1$ 为真命题。

对于 $p_2$：当 $x>0$ 时，$y^{\prime }=2^x\ln 2-2^{-x}\ln 2=\ln 2(2^x-2^{-x})>0$，函数在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，故 $y=2^x+2^{-x}$ 在 $\mathbb{R}$ 上不是减函数，命题 $p_2$ 为假命题。

综上，$p_1$ 为真， $p_2$ 为假（则 $\neg p_1$ 为假，$\neg p_2$ 为真）。

判定复合命题：

• $q_1:p_1\vee p_2$（真 $\vee$ 假）为真；
• $q_2:p_1\wedge p_2$（真 $\wedge$ 假）为假；
• $q_3:(\neg p_1)\vee p_2$（假 $\vee$ 假）为假；
• $q_4:p_1\wedge (\neg p_2)$（真 $\wedge$ 真）为真。

真命题为 $q_1,q_4$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：基本初等函数的单调性判定与逻辑联结词的运算。
2. 核心方法：先判单命题真假，再按真值表规则推导复合命题真假。
3. 避坑指南：注意 $y=2^x+2^{-x}$ 为偶函数，在 $\mathbb{R}$ 上不可能单调。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：考查逻辑联结词与函数性质的综合应用。
2. 结论推广：双曲正弦函数 $\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，双曲余弦函数 $\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ 为偶函数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性