2010-新课标卷理-10 单-立体几何

本题导读

考查正三棱柱外接球半径的计算，需利用底面外心与侧棱中点的性质定位球心。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(理)） 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 $a$，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()

A. $\pi a^2$　　　　　B. $\frac{7}{3}\pi a^2$　　　　　C. $\frac{11}{3}\pi a^2$　　　　　D. $5\pi a^2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定底面正三角形的外接圆半径 $r$。
2. 根据直三棱柱对称性，求出外接球球心到底面的距离 $h$（高的一半）。
3. 由勾股定理求出外接球半径 $R=\sqrt{r^2+h^2}$。
4. 计算球表面积 $S=4\pi R^2$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由于侧棱垂直于底面且所有棱长均为 $a$，故该三棱柱为底面边长为 $a$、高为 $a$ 的正三棱柱。

1. 求底面外接圆半径 $r$： 底面为边长为 $a$ 的正三角形，其外接圆半径为： $r=\frac{a}{2\sin 60^{\circ }}=\frac{a}{\sqrt{3}}$

2. 求球心距 $h$： 外接球球心位于三棱柱上下底面外心连线的中点，球心到底面的距离为棱长的一半： $h=\frac{a}{2}$

3. 求外接球半径 $R$： 根据勾股定理： $R^2=r^2+h^2={\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{a^2}{3}+\frac{a^2}{4}=\frac{7}{12}{a}^2$

4. 计算球表面积 $S$： $S=4\pi R^2=4\pi \times \frac{7}{12}{a}^2=\frac{7}{3}\pi a^2$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：柱体外接球半径公式 $R^2=r_{底}^2+{\left(\frac{h_{柱}}{2}\right)}^2$。
2. 核心方法：将空间几何体外接球问题降维转化为平面直角三角形（勾股定理）解决。
3. 避坑指南：注意正三角形外接圆半径 $r=\frac{\sqrt{3}}{3}a$，切勿错用内切圆半径 $\frac{\sqrt{3}}{6}a$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：立体几何多面体外接球问题是高考高频考点。
2. 结论推广：对任意高为 $h$、底面外接圆半径为 $r$ 的直棱柱，外接球半径均满足 $R=\sqrt{r^2+{\left(\frac{h}{2}\right)}^2}$。

🔗【关联脉络】

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$B.$

类题演练 (Links)

• 2011-安徽卷文-08 单-三视图四棱柱表面积
• 2011-辽宁卷文-10 单-球截面棱锥体积
• 2011-重庆卷文-10 单-四棱锥外接球