2010-新课标卷理-15 填-圆的标准方程

本题导读

考查圆的标准方程求解。关键在于利用“圆心在切点处过切线的垂线上”以及“圆心在弦 $AB$ 的垂直平分线上”确定圆心坐标。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(理)） 过点 $A(4,1)$ 的圆 $C$ 与直线 $x-y-1=0$ 相切于点 $B(2,1)$，则圆 $C$ 的方程为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 求切点 $B(2,1)$ 处的法线方程：与切线 $x-y-1=0$ 垂直且过点 $B$ 的直线。
2. 求弦 $AB$ 的垂直平分线方程：两点 $A(4,1)$ 和 $B(2,1)$ 纵坐标相同，垂直平分线为 $x=3$。
3. 联立两条直线方程求得圆心 $C$，再利用 $|CB|$ 求半径 $R$。

✅【答案】

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$(x-3{)}^2+y^2=2$

✍【详细解析】

Abstract

步骤一：求过切点 $B(2,1)$ 且垂直于切线的直线 已知切线斜率为 $k_1=1$，故过切点 $B(2,1)$ 的法线斜率为 $k_2=-1$。 法线方程为： $y-1=-1\cdot (x-2)⟹x+y-3=0\text{(1)}$

步骤二：求弦 $AB$ 的垂直平分线 因为 $A(4,1)$ 与 $B(2,1)$ 的纵坐标均为 $1$，中点坐标为 $(3,1)$。 线段 $AB$ 的垂直平分线为垂直于 $x$ 轴的直线： $x=3\text{(2)}$

步骤三：求圆心与半径 联立方程 ① 和 ②： $\{\begin{array}{l}x+y-3=0\\ x=3\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=3\\ y=0\end{array}$ 故圆心坐标为 $C(3,0)$。

半径 $R=|CB|=\sqrt{(3-2{)}^2+(0-1{)}^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$，故 $R^2=2$。

步骤四：写出圆的标准方程 $(x-3{)}^2+y^2=2$

故答案为：$(x-3{)}^2+y^2=2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：切线几何性质（法线过圆心）与弦几何性质（垂直平分线过圆心）。
2. 核心方法：两直线交点确定圆心坐标 $\to$ 距离公式求半径。
3. 避坑指南：亦可使用切线束方程 $(x-3{)}^2+(y-0{)}^2-\dots$ 或设圆方程待定系数，但几何交点法最快最不易出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：基础解析几何几何性质综合题。
2. 结论推广：已知圆过点 $A$ 并与直线 $L$ 切于 $B$，则圆心必为线段 $AB$ 垂直平分线与过 $B$ 点垂直于 $L$ 的直线的交点。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

$(x-3)2+y2=2.$

类题演练 (Links)

• 2014-山东卷文-14 填-圆的标准方程
• 2014-广东卷理-20 解-椭圆的标准方程
• 2014-江苏卷-17 解-椭圆的标准方程