2010-江苏卷-13 填-正余弦定理化简求值

本题导读

考查解三角形综合。$\frac{\tan C}{\tan A}+\frac{\tan C}{\tan B}=\frac{c^2}{ab\cos C}=\frac{4ab\cos C}{ab\cos C}=4$。

📌【题干】

Question

（2010年江苏卷） 在锐角 $△ABC$ 中，角 $A$、$B$、$C$ 的对边分别为 $a$、$b$、$c$，若 $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=6\cos C$，则 $\frac{\tan C}{\tan A}+\frac{\tan C}{\tan B}$ 的值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\frac{a^2+b^2}{ab}=6\cos C$，代入余弦定理 $a^2+b^2=c^2+2ab\cos C$。
2. 得 $c^2=4ab\cos C$。
3. $\frac{\tan C}{\tan A}+\frac{\tan C}{\tan B}=\frac{\sin C\cos A}{\cos C\sin A}+\frac{\sin C\cos B}{\cos C\sin B}=\frac{\sin C\sin (A+B)}{\cos C\sin A\sin B}$。
4. $=\frac{{\sin }^{2}C}{\cos C\sin A\sin B}=\frac{c^2}{ab\cos C}=4$。

✅【答案】

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$4$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{a^2+b^2}{ab}=6\cos C$，得 $a^2+b^2=6ab\cos C.$ 又由余弦定理 $a^2+b^2=c^2+2ab\cos C$，两式相减得 $c^2=4ab\cos C.$ 而 $\frac{\tan C}{\tan A}+\frac{\tan C}{\tan B}=\frac{\sin C}{\cos C}\left(\frac{\cos A}{\sin A}+\frac{\cos B}{\sin B}\right)=\frac{\sin C}{\cos C}\cdot \frac{\sin (A+B)}{\sin A\sin B}.$ 锐角三角形中 $\sin (A+B)=\sin C$，再由正弦定理角化边： $\frac{{\sin }^{2}C}{\cos C\sin A\sin B}=\frac{c^2}{ab\cos C}=\frac{4ab\cos C}{ab\cos C}=4.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理与余弦定理的综合

核心方法：条件凑 $c^2=4ab\cos C$，目标切化弦再角化边

避坑指南：$\tan$ 化弦后 $\sin (A+B)=\sin C$ 是关键一步（锐角三角形保证各弦为正）；$\frac{c^2}{ab\cos C}$ 约分时 $\cos C>0$ 才合法。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$\frac{\tan C}{\tan A}+\frac{\tan C}{\tan B}=\frac{{\sin }^{2}C}{\cos C\sin A\sin B}$ 是定值化标准动作。

结论推广：正弦定理让 $\frac{{\sin }^{2}C}{\sin A\sin B}=\frac{c^2}{ab}$，角边互换自由。

方法推广：条件 $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=6\cos C$ 左边配余弦定理 $a^2+b^2$ 是常见接口。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-17 解-正余弦定理二倍角
• 2011-山东卷文-17 解-正余弦定理解三角形
• 2009-山东卷文-17 解-三角变换与解三角形
• 2009-浙江卷文-18 解-解三角形与向量