2010-江苏卷-20 解-性质P新定义导数

本题导读

考查导数新定义。（1）$f^{\prime }(x)=\frac{x^2-bx+1}{x(x+1{)}^2}$；$b⩽2$ 在 $(1,+\infty )$ 增，$b>2$ 先减后增；（2）$0<m<1$。

📌【题干】

Question

（2010年江苏卷） 设 $f(x)$ 是定义在区间 $(1,+\infty )$ 上的函数，其导函数为 $f^{\prime }(x)$.如果存在实数 $a$ 和函数 $h(x)$，其中 $h(x)$ 对任意的 $x\in (1,+\infty )$ 都有 $h(x)>0$，使得 $f^{\prime }(x)=h(x)(x^2-ax+1)$，则称函数 $f(x)$ 具有性质 $P(a)$.

(1)设函数 $f(x)=\ln x+\frac{b+2}{x+1}$（$x>1$），其中 $b$ 为实数. ①求证：函数 $f(x)$ 具有性质 $P(b)$； ②求函数 $f(x)$ 的单调区间.

(2)已知函数 $g(x)$ 具有性质 $P(2)$，给定 $x_1,x_2\in (1,+\infty )$，$x_1<x_2$，设 $m$ 为实数.$\alpha =m{x}_1+(1-m)x_2$，$\beta =(1-m)x_1+m{x}_2$，且 $\alpha >1$，$\beta >1$，若 $|g(\alpha )-g(\beta )|<|g(x_1)-g(x_2)|$，求 $m$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. （1）$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-\frac{b+2}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2-bx+1}{x(x+1{)}^2}$，取 $h(x)=\frac{1}{x(x+1{)}^2}>0$。
2. $b⩽2$ 时 $x^2-bx+1=(x-1{)}^2+(2-b)x>0$；$b>2$ 时两根 $x_{1,2}=\frac{b\mp \sqrt{b^2-4}}{2}$，$x_1<1<x_2$。
3. （2）$g^{\prime }(x)=h(x)(x-1{)}^2>0$，$g$ 严格递增。
4. 记 $d=x_2-x_1$，$\alpha =x_2-md$，$\beta =x_1+md$；$0<m<1$ 时 $\alpha ,\beta$ 都落在 $(x_1,x_2)$ 内；$m⩽0$ 或 $m⩾1$ 时不等式反向或取等。

✅【答案】

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(1) ② $b⩽2$ 时在 $(1,+\infty )$ 上单调递增；$b>2$ 时在 $\left(1,\frac{b+\sqrt{b^2-4}}{2}\right)$ 上单调递减，在 $\left(\frac{b+\sqrt{b^2-4}}{2},+\infty \right)$ 上单调递增

(2) $0<m<1$

✍【详细解析】

Abstract

（1）①求导： $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-\frac{b+2}{(x+1{)}^2}=\frac{(x+1{)}^2-x(b+2)}{x(x+1{)}^2}=\frac{x^2-bx+1}{x(x+1{)}^2}.$ 当 $x>1$ 时，令 $h(x)=\frac{1}{x(x+1{)}^2}>0$，则 $f^{\prime }(x)=h(x)(x^2-bx+1)$， 故 $f(x)$ 具有性质 $P(b)$。 ② $f^{\prime }(x)$ 的符号由 $x^2-bx+1$ 决定。 当 $b⩽2$ 时，$x^2-bx+1=(x-1{)}^2+(2-b)x>0$（$x>1$）， $f(x)$ 在 $(1,+\infty )$ 上单调递增。 当 $b>2$ 时，$x^2-bx+1=0$ 的两根为 $x_1=\frac{b-\sqrt{b^2-4}}{2},x_2=\frac{b+\sqrt{b^2-4}}{2},$ 两根之积为 $1$，且 $x_1<1<x_2$。 在 $(1,x_2)$ 上 $x^2-bx+1<0$，在 $(x_2,+\infty )$ 上大于零， 故 $f(x)$ 在 $\left(1,\frac{b+\sqrt{b^2-4}}{2}\right)$ 上单调递减， 在 $\left(\frac{b+\sqrt{b^2-4}}{2},+\infty \right)$ 上单调递增。 （2）$g(x)$ 具有性质 $P(2)$，故 $g^{\prime }(x)=h(x)(x^2-2x+1)=h(x)(x-1{)}^2>0(x>1),$ $g(x)$ 在 $(1,+\infty )$ 上严格递增。 记 $d=x_2-x_1>0$，则 $\alpha =x_2-md$，$\beta =x_1+md$。 当 $0<m<1$ 时，$x_1<\alpha <x_2$，$x_1<\beta <x_2$，由严格递增性： $|g(\alpha )-g(\beta )|<g(x_2)-g(x_1)=|g(x_1)-g(x_2)|,$ 合题。 当 $m=0$ 或 $m=1$ 时，$\{\alpha ,\beta \}=\{x_1,x_2\}$，不等式变为等式，不合题； 当 $m<0$ 时，$\alpha >x_2$，$\beta <x_1$；当 $m>1$ 时，$\alpha <x_1$，$\beta >x_2$，均有 $|g(\alpha )-g(\beta )|>g(x_2)-g(x_1),$ 不合题。 故 $m$ 的取值范围是 $0<m<1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：新定义性质与导数符号讨论

核心方法：凑出 $h(x)>0$ 的因子；（2）利用严格递增把函数值比较还原为自变量比较

避坑指南：$x^2-bx+1$ 的判别式分界是 $b=2$，不是 $b=0$；$b>2$ 时小根 $\frac{b-\sqrt{b^2-4}}{2}<1$ 不在定义域内，单调区间端点只写大根；（2）$m=0,1$ 使不等式变等式，必须排除。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：新定义题第一步：把定义翻译成具体等式（本题即 $f^{\prime }$ 的因式结构）。

结论推广：两根之积为 $1$ 是 $x^2-bx+1$ 的结构特征，决定小根在 $(0,1)$。

方法推广：严格递增函数中 $|g(\alpha )-g(\beta )|$ 的大小由 $|\alpha -\beta |$ 的位置决定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2011-辽宁卷文-20 解-切线定参证不等式
• 2009-天津卷文-21 解-导数零点恒成立
• 2011-陕西卷文-21 解-对数导数单调比较恒成立
• 2012-江苏卷-18 解-三次函数极值点与零点