2010-江西卷文-16 填-长方体外接球球面距离

本题导读

考查球面距离。体对角线 $\sqrt{1+1+2}=2$ 得 $R=1$；$AB=1=2R\sin \frac{\theta }{2}$ 得 $\theta =\frac{\pi }{3}$，弧长 $\frac{\pi }{3}$。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(文)） 长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的顶点均在同一个球面上，$AB=A{A}_1=1$，$BC=\sqrt{2}$，则 $A$，$B$ 两点间的球面距离为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 体对角线 $=\sqrt{1^2+1^2+(\sqrt{2}{)}^2}=2$，故直径 $2R=2$，$R=1$。
2. $A$、$B$ 为同一棱两端点，弦 $AB=1$。
3. $AB=2R\sin \frac{\theta }{2}\Rightarrow \sin \frac{\theta }{2}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{\theta }{2}=\frac{\pi }{6}\Rightarrow \theta =\frac{\pi }{3}$。
4. 球面距离 $=R\theta =1\times \frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}$。

✅【答案】

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$\frac{\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

长方体的体对角线是其外接球的直径. 由 $AB=1$，$A{A}_1=1$，$BC=\sqrt{2}$，体对角线长为 $\sqrt{1^2+1^2+(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{4}=2,$ 故 $2R=2$，$R=1$. $A$、$B$ 是同一条棱的两个端点，弦长 $AB=1$. 设球心角 $\angle AOB=\theta$（$O$ 为球心），则 $AB=2R\sin \frac{\theta }{2}⟺1=2\sin \frac{\theta }{2}⟺\sin \frac{\theta }{2}=\frac{1}{2}⟺\theta =\frac{\pi }{3}.$ $A$、$B$ 两点间的球面距离为劣弧长 $l=R\theta =1\times \frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}.$ 故答案为 $\frac{\pi }{3}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：长方体外接球与球面距离

核心方法：体对角线 $=$ 直径定 $R=1$，弦长定圆心角 $\theta =\frac{\pi }{3}$，弧长 $R\theta$

避坑指南：$A$、$B$ 是同一条棱的端点，弦长 $1$ 是棱长；球面距离是弧长不是弦长，最后一步 $l=R\theta$ 不能丢；$\sin \frac{\theta }{2}=\frac{1}{2}$ 的解取 $\frac{\pi }{6}$（劣弧）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：多面体外接球三兄弟：长方体（体对角线）、正棱锥（高与底面外接圆）、直棱柱（侧棱与底面外接圆）。

结论推广：球面距离 $=$ 大圆劣弧长 $=R\theta$，圆心角由弦长 $2R\sin \frac{\theta }{2}$ 反解。

方法推广：体对角线公式 $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ 与外接球直径的对应是立体几何填空的高频结论。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-09 单-球面距离
• 2009-陕西卷文-15 填-球面距离求角
• 2011-重庆卷文-10 单-四棱锥外接球
• 2012-四川卷文-10 单-球面距离与截面