2009-陕西卷文-15 填-球面距离求角

本题导读

考查球面距离反求角。$\angle AOB=\frac{2\pi /3}{2}=\frac{\pi }{3}$，$AB=2$；小圆半径 $r=\sqrt{4-2}=\sqrt{2}$，$A{B}^2=2r^2(1-\cos \angle A{O}_{1}B)$ 得 $\angle A{O}_{1}B=\frac{\pi }{2}$。

📌【题干】

Question

（2009年陕西卷(文)） 如图，球 $O$ 的半径为 $2$，圆 $O_1$ 是一小圆，$O_{1}O=\sqrt{2}$，$A,B$ 是圆 $O_1$ 上两点.若 $A,B$ 两点间的球面距离为 $\frac{2\pi }{3}$，则 $\angle A{O}_{1}B=$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 球面距离 $\frac{2\pi }{3}=R\cdot \angle AOB=2\angle AOB$，故 $\angle AOB=\frac{\pi }{3}$。
2. 弦长 $AB=2R\sin \frac{\angle AOB}{2}=4\sin \frac{\pi }{6}=2$。
3. 小圆半径 $r=\sqrt{R^2-O_1{O}^2}=\sqrt{4-2}=\sqrt{2}$。
4. 在圆 $O_1$ 中：$A{B}^2=2r^2(1-\cos \angle A{O}_{1}B)$，$4=4(1-\cos \angle A{O}_{1}B)$，$\angle A{O}_{1}B=\frac{\pi }{2}$。

✅【答案】

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$\frac{\pi }{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由球面距离公式，$\frac{2\pi }{3}=R\cdot \angle AOB=2\angle AOB$，得 $\angle AOB=\frac{\pi }{3}$。 于是弦长 $AB=2R\sin \frac{\angle AOB}{2}=4\sin \frac{\pi }{6}=2.$ 小圆 $O_1$ 的半径为 $r=\sqrt{R^2-O_1{O}^2}=\sqrt{4-2}=\sqrt{2}.$ 在圆 $O_1$ 中，由余弦定理， $A{B}^2=2r^2(1-\cos \angle A{O}_{1}B),\text{即 }4=4(1-\cos \angle A{O}_{1}B),$ 所以 $\cos \angle A{O}_{1}B=0$，$\angle A{O}_{1}B=\frac{\pi }{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球面距离与截面小圆

核心方法：球面距离 $=R\times$ 球心角定 $\angle AOB$，弦长 $AB$ 再在小圆中用余弦定理

避坑指南：球面距离对应大圆的球心角 $\angle AOB$，不是小圆中的 $\angle A{O}_{1}B$；两角分属两个平面，切勿混用。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：球面问题三板斧：大圆弧长公式、弦长公式、截面半径 $r=\sqrt{R^2-d^2}$。

结论推广：已知球面距离可反推球心角，进而求弦长，这是”球面距离”题的固定链条。

方法推广：空间问题平面化：在大圆面内处理 $\angle AOB$，在小圆面内处理 $\angle A{O}_{1}B$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-09 单-球面距离
• 2009-大纲卷I文-15 填-球的截面
• 2009-大纲卷II文-16 填-球截面与表面积
• 2009-上海卷文-06 填-球表面积比