2010-江西卷文-21 解-抛物线与椭圆综合

本题导读

考查抛物线与椭圆综合。$c^2=b^2$ 得 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$；交点 $y=-\frac{b}{2}$ 对称得重心 $(1,0)$，代入 $x^2+by=b^2$ 得 $b=1$。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(文)） 如图，已知抛物线 $C_1$: $x^2+by=b^2$ 经过椭圆 $C_2$: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的两个焦点.

(1) 求椭圆 $C_2$ 的离心率；

(2) 设 $Q(3,b)$，又 $M$，$N$ 为 $C_1$ 与 $C_2$ 不在 $y$ 轴上的两个交点，若 $△QMN$ 的重心在抛物线 $C_1$ 上，求 $C_1$ 和 $C_2$ 的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 焦点 $(\pm c,0)$ 代入 $x^2+by=b^2$：$c^2=b^2$，$c=b$。$a^2=b^2+c^2=2b^2$，$e=\frac{c}{a}=\frac{b}{\sqrt{2}b}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
2. (2) $a^2=2b^2$：$C_2$: $\frac{x^2}{2b^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，即 $x^2+2y^2=2b^2$。
3. 联立 $x^2=b^2-by$：$b^2-by+2y^2=2b^2\Rightarrow 2y^2-by-b^2=0\Rightarrow (2y+b)(y-b)=0$。
4. $y=b$ 给 $x=0$（在 $y$ 轴上，舍）；$y=-\frac{b}{2}$ 给 $x^2=b^2+\frac{b^2}{2}=\frac{3b^2}{2}$，$x=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}b$。
5. $M\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}b,-\frac{b}{2}\right)$，$N\left(\frac{\sqrt{6}}{2}b,-\frac{b}{2}\right)$，重心横坐标 $\frac{3+0}{3}=1$，纵坐标 $\frac{b-\frac{b}{2}-\frac{b}{2}}{3}=0$，即 $(1,0)$。
6. 代入 $C_1$：$1+0=b^2\Rightarrow b=1$。$C_1$: $x^2+y=1$，$C_2$: $\frac{x^2}{2}+y^2=1$。

✅【答案】

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(1) $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $C_1$: $x^2+y=1$，$C_2$: $\frac{x^2}{2}+y^2=1$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 抛物线 $C_1$: $x^2+by=b^2$ 与 $x$ 轴的交点满足 $x^2=b^2$，即 $C_1$ 过 $(\pm b,0)$. 由题意 $C_1$ 经过椭圆 $C_2$ 的两个焦点 $(\pm c,0)$，故 $c^2=b^2$，即 $c=b$. 于是 $a^2=b^2+c^2=2b^2$，椭圆的离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{b}{\sqrt{2}b}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$ (2) 由 (1) 知 $a^2=2b^2$，椭圆方程为 $\frac{x^2}{2b^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，即 $x^2+2y^2=2b^2$. 抛物线即 $x^2=b^2-by$. 联立两式： $b^2-by+2y^2=2b^2⟺2y^2-by-b^2=0⟺(2y+b)(y-b)=0.$ 解得 $y=b$ 或 $y=-\frac{b}{2}$. 当 $y=b$ 时 $x^2=b^2-b^2=0$，交点 $(0,b)$ 在 $y$ 轴上，不合题意，舍去； 当 $y=-\frac{b}{2}$ 时 $x^2=b^2+\frac{b^2}{2}=\frac{3b^2}{2}$，$x=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}b$， 故 $M\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}b,-\frac{b}{2}\right)$，$N\left(\frac{\sqrt{6}}{2}b,-\frac{b}{2}\right)$. $△QMN$ 的重心 $G$ 的坐标为 $x_G=\frac{3-\frac{\sqrt{6}}{2}b+\frac{\sqrt{6}}{2}b}{3}=1,y_G=\frac{b-\frac{b}{2}-\frac{b}{2}}{3}=0,$ 即 $G(1,0)$. 由 $G$ 在抛物线 $C_1$ 上：$1+b\times 0=b^2$，得 $b^2=1$，又 $b>0$，故 $b=1$. 所以 $C_1:x^2+y=1,C_2:\frac{x^2}{2}+y^2=1.$ 经检验，此时 $M\left(-\frac{\sqrt{6}}{2},-\frac{1}{2}\right)$、$N\left(\frac{\sqrt{6}}{2},-\frac{1}{2}\right)$ 确实不在 $y$ 轴上，重心 $(1,0)$ 在 $C_1$ 上，全部条件满足.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线与椭圆的位置关系

核心方法：焦点代入抛物线定 $c=b$；联立消 $x$ 得 $y$ 的一次因式分解；重心坐标代入抛物线定 $b$

避坑指南：$y=b$ 的根对应 $x=0$（在 $y$ 轴上），必须按题意舍去，保留 $y=-\frac{b}{2}$ 的对称交点；重心横坐标 $\frac{3\pm 0}{3}=1$ 与 $b$ 无关，纵坐标恰好抵消为 $0$，两个”巧合”是命题人预设的化简通道。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆锥曲线交点三角形的重心、垂心问题，常依赖交点关于某轴对称的消参技巧。

结论推广：抛物线 $x^2+by=b^2$（开口向下）与椭圆的联立本质是二次方程根的分布。

方法推广：“曲线过焦点""重心在曲线上”都是坐标代入型条件，把几何条件翻译成方程是解析几何的第一动作。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-18 解-椭圆与抛物线轨迹
• 2009-湖南卷文-20 解-椭圆中点弦
• 2009-新课标卷文-20 解-椭圆方程与相关点轨迹
• 2011-天津卷文-18 解-椭圆离心率与弦长