2009-新课标卷文-20 解-椭圆方程与相关点轨迹

本题导读

第 (1) 问由”顶点到两焦点距离为 $a-c$ 与 $a+c$“联立求 $a$，$c$；第 (2) 问用相关点法：$M$ 与 $P$ 横坐标相同，把 $|OP|/|OM|=e$ 化为坐标关系，再用椭圆方程消元。

📌【题干】

Question

（2009年新课标卷(文)） 已知椭圆 $C$ 的中心为直角坐标系 $xOy$ 的原点，焦点在 $x$ 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 $7$ 和 $1$.

(1)求椭圆 $C$ 的方程；

(2)若 $P$ 为椭圆 $C$ 上的动点，$M$ 为过 $P$ 且垂直于 $x$ 轴的直线上的点，$\frac{|OP|}{|OM|}=e$（$e$ 为椭圆 $C$ 的离心率），求点 $M$ 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) $a-c=1$，$a+c=7$，解得 $a=4$，$c=3$，$b^2=7$。
2. (2) 设 $P(x,y)$，$M(x,m)$。由 $\frac{|OP|}{|OM|}=\frac{3}{4}$ 得 $x^2+y^2=\frac{9}{16}(x^2+m^2)$，解出 $m^2$；再把椭圆方程 $y^2=7-\frac{7}{16}{x}^2$ 代入消去 $y^2$，得 $m$ 为定值。

✅【答案】

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(1) $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1$；(2)$y=\pm \frac{4\sqrt{7}}{3}$（$-4⩽x⩽4$），轨迹为两条平行于 $x$ 轴的线段

✍【详细解析】

Abstract

（1） 设长半轴、半焦距分别为 $a$，$c$。顶点到两焦点的距离为 $a-c$ 与 $a+c$，故 $a-c=1$，$a+c=7$，解得 $a=4$，$c=3$，$b^2=a^2-c^2=7$。 故椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1$。

（2） 离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{3}{4}$。设 $P(x,y)$，则 $M(x,m)$。由题意 $\frac{x^2+y^2}{x^2+m^2}=\frac{9}{16},$ 整理得 $m^2=\frac{7}{9}{x}^2+\frac{16}{9}{y}^2$。 由椭圆方程 $y^2=7-\frac{7}{16}{x}^2$，代入得 $m^2=\frac{7}{9}{x}^2+\frac{16}{9}\left(7-\frac{7}{16}{x}^2\right)=\frac{112}{9}.$ 故 $m=\pm \frac{4\sqrt{7}}{3}$。又 $P$ 在椭圆上时 $-4⩽x⩽4$，且每个这样的 $x$ 都对应椭圆上的点 $P$。 所以 $M$ 的轨迹方程为 $y=\frac{4\sqrt{7}}{3}$ 或 $y=-\frac{4\sqrt{7}}{3}$（$-4⩽x⩽4$），轨迹是两条平行于 $x$ 轴的线段。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆标准方程与相关点法求轨迹

核心方法：待定系数 + 坐标代入消元

避坑指南：$M$ 与 $P$ 横坐标相同，但 $|OM|$ 中的纵坐标是 $M$ 的 $m$ 而非 $P$ 的 $y$，列式时别混用。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：相关点法（代入法）是轨迹方程的通用方法。

结论推广：把主动点 $P$ 的坐标用从动点 $M$ 表示，代入主动点满足的曲线方程。

方法推广：求出 $m^2$ 为定值后要补横坐标范围 $-4⩽x⩽4$，说明轨迹是线段而非直线。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.08 一般曲线与方程

类题演练 (Links)

• 2011-安徽卷文-17 解-两直线相交与椭圆轨迹
• 2011-重庆卷文-21 解-椭圆轨迹与定点定值
• 2011-陕西卷文-17 解-椭圆方程与弦中点