2010-江西卷理-03 单-绝对值不等式

本题导读

考查绝对值不等式 $|u|>u$ 的代数性质及分式不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(理)） 不等式 $\left|\frac{x-2}{x}\right|>\frac{x-2}{x}$ 的解集是()

A. $(0,2)$　　　B. $(-\infty ,0)$　　　C. $(2,+\infty )$　　　D. $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用绝对值的基本性质：对任意实数 $a$，恒有 $|a|\ge a$，且 $|a|>a⟺a<0$。
2. 将原不等式等价转化为 $\frac{x-2}{x}<0$，解该分式不等式即可。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解： 根据绝对值性质，对任意实数 $u$，不等式 $|u|>u$ 成立的充要条件是 $u<0$。

因此，原不等式等价于： $\frac{x-2}{x}<0$

等价于二次不等式： $x(x-2)<0⟹0<x<2$

所以解集为 $(0,2)$。

正确选项：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值性质 $|u|>u⟺u<0$。
2. 核心方法：转化等价化简法（将分式不等式转为二次不等式）。
3. 避坑指南：切忌分类讨论去绝对值导致过程繁琐，直接利用 $|u|>u⟺u<0$ 可以极快速求解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于高一不等式基本性质的抽象提炼。
2. 结论推广：对任意分式函数 $f(x)$，不等式 $|f(x)|>f(x)$ 的解集即为 $f(x)<0$ 的解集。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-06 填-分式不等式
• 2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立
• 2011-上海卷理-15 单-基本不等式