2010-江西卷理-09 单-函数

本题导读

考查函数三大核心性质辨析：同一函数判定、反函数图象变换、以及奇偶性与轴对称性推导周期性。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(理)） 给出下列三个命题： ① 函数 $y=\frac{1}{2}\ln \frac{1-\cos x}{1+\cos x}$ 与 $y=\ln \tan \frac{x}{2}$ 是同一函数； ② 若函数 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 的图象关于直线 $y=x$ 对称，则函数 $y=f(2x)$ 与 $y=\frac{1}{2}g(x)$ 的图象也关于直线 $y=x$ 对称； ③ 若奇函数 $f(x)$ 对定义域内任意 $x$ 都有 $f(x)=f(2-x)$，则 $f(x)$ 为周期函数. 其中真命题是()

A. ①②　　　　　　　B. ①③　　　　　　　C. ②③　　　　　　　D. ②

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析 ①：判断两函数的定义域与解析式化简后是否完全一致。
2. 分析 ②：根据反函数定义，求出 $y=f(2x)$ 的反函数，看是否为 $y=\frac{1}{2}g(x)$。
3. 分析 ③：结合 $f(x)$ 是奇函数（$f(-x)=-f(x)$）和轴对称性（$f(2-x)=f(x)$），推导 $f(x)$ 的周期性。

点击查看答案

真命题是 ②③

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 分析 ①： 对 $y=\frac{1}{2}\ln \frac{1-\cos x}{1+\cos x}$，需满足 $\frac{1-\cos x}{1+\cos x}>0⟹\cos x\ne \pm 1$。 化简解析式：$\frac{1-\cos x}{1+\cos x}=\frac{2{\sin }^2\frac{x}{2}}{2{\cos }^2\frac{x}{2}}={\tan }^2\frac{x}{2}$。 故 $y=\frac{1}{2}\ln \left({\tan }^2\frac{x}{2}\right)=\ln \left|\tan \frac{x}{2}\right|$。 而 $y=\ln \tan \frac{x}{2}$ 要求的定义域是 $\tan \frac{x}{2}>0$。 当 $\tan \frac{x}{2}<0$ 时，第一个函数有意义，第二个函数无意义（定义域不同）。 且解析式中 $\ln \left|\tan \frac{x}{2}\right|\ne \ln \tan \frac{x}{2}$，故① 为假命题。

• 分析 ②： 因为 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 的图象关于 $y=x$ 对称，所以 $g(x)=f^{-1}(x)$。 设 $y=f(2x)$，令 $2x=f^{-1}(y)=g(y)⟹x=\frac{1}{2}g(y)$。 交换 $x,y$ 得反函数为 $y=\frac{1}{2}g(x)$。 所以 $y=f(2x)$ 与 $y=\frac{1}{2}g(x)$ 的图象关于直线 $y=x$ 对称，② 为真命题。

• 分析 ③： 因为 $f(x)$ 为奇函数，所以 $f(-x)=-f(x)$。 又 $f(x)=f(2-x)$，所以 $f(-x)=f(2+x)$，得 $-f(x)=f(2+x)$。 用 $x+2$ 替换 $x$ 得： $f(x+4)=-f(x+2)=-(-f(x))=f(x)$ 故 $f(x)$ 是以 $T=4$ 为周期的周期函数，③ 为真命题。

综上所述，真命题是 ②③。

正确选项：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：

• 同一函数：定义域与对应法则必须同时完全相同。
• 反函数性质：$y=f(ax)$ 的反函数为 $y=\frac{1}{a}{f}^{-1}(x)$。
• 周期性结论：若函数既关于原点对称（奇函数），又关于直线 $x=a$ 对称，则 $T=4|a|$。

2. 核心方法：反函数代换法，抽象函数周期性递推法。
3. 避坑指南：① 中注意 $\frac{1}{2}\ln u^2=\ln |u|$ 而非 $\ln u$，对根号与对数化简时不能忽视绝对值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于函数性质（对称性、周期性、奇偶性、反函数）的综合辨析题。
2. 结论推广：奇函数 $f(x)$ 若满足 $f(x+a)=f(a-x)$（关于 $x=a$ 对称），则其周期 $T=4a$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性