2010-江西卷理-11 单-排列组合

本题导读

考查古典概型与超几何分布/独立事件概率的计算与比较，采用“正难则反”的思想先算对立事件概率。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(理)） 一位国王的铸币大臣在每箱 $100$ 枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测.方法一：在 $10$ 箱中各任意抽查一枚；方法二：在 $5$ 箱中各任意抽查两枚.国王用方法一、二发现至少一枚劣币的概率分别记为 $p_1$ 和 $p_2$，则()

A. $p_1=p_2$　B. $p_1<p_2$　C. $p_1>p_2$　D. 以上三种情况都有可能

🔍【思路分析】

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1. 先求“至少发现一枚劣币”的对立事件“没有发现任何劣币”的概率。
2. 方法一：从 $10$ 箱中各抽 $1$ 枚，每箱抽到正币的概率为 $\frac{99}{100}$，利用独立事件积计算未抽到劣币的概率 $1-p_1$。
3. 方法二：从 $5$ 箱中各抽 $2$ 枚，每箱抽到均非劣币的概率为 $\frac{{\mathrm{C}}_{99}^2}{{\mathrm{C}}_{100}^2}$，计算未抽到劣币的概率 $1-p_2$。
4. 比较 $1-p_1$ 与 $1-p_2$ 的大小，进而确定 $p_1$ 与 $p_2$ 的大小关系。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解： 利用对立事件求解概率。

方法一： 在 $10$ 箱中每箱各抽 $1$ 枚。 每箱中抽到正币（非劣币）的概率为 $\frac{99}{100}$。 因为各箱抽查相互独立，所以 $10$ 箱均未抽到劣币的概率为： $1-p_1={\left(\frac{99}{100}\right)}^{10}$

方法二： 在 $5$ 箱中每箱各抽 $2$ 枚。 每箱中抽取 $2$ 枚均非劣币的概率为： $\frac{{\mathrm{C}}_{99}^2}{{\mathrm{C}}_{100}^2}=\frac{\frac{99\times 98}{2}}{\frac{100\times 99}{2}}=\frac{98}{100}$ 因为各箱抽查相互独立，所以 $5$ 箱均未抽到劣币的概率为： $1-p_2={\left(\frac{98}{100}\right)}^5$

比较 $1-p_1$ 与 $1-p_2$： 对 $1-p_1$ 进行变形，将指数也化为 $5$ 次方： $1-p_1={\left[{\left(\frac{99}{100}\right)}^2\right]}^5={\left(\frac{9801}{10000}\right)}^5=(0.9801{)}^5$ 而： $1-p_2={\left(\frac{98}{100}\right)}^5=(0.9800{)}^5$

显见 $0.9801>0.9800$，故： $1-p_1>1-p_2⟹p_1<p_2$

正确选项：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对立事件概率、独立重复/不同样本抽取概率计算。
2. 核心方法：对立事件转换法、指数同化比较大小。
3. 避坑指南：直接计算“至少一枚劣币”的概率会包含多种情况极为繁琐，一定要通过“一枚劣币都没抽到”来反向突破。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于抽样检验概率模型在实际生活中的应用。
2. 结论推广：在同等抽取总件数（$10$ 件）下，“分散到更多箱中抽取（每箱抽件数少）”比“集中在较少箱中抽取（每箱抽件数多）”抽中特定不良品概率更小。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-13 填-生日对立事件概率
• 2011-北京卷文-16 解-茎叶图与概率
• 2011-四川卷理-08 单-排列组合