2010-浙江卷文-09 单-零点与函数符号

本题导读

考查零点与单调性。$x<1$ 时 $f(x)>0$，故 $x_0>1$；$f^{\prime }(x)=2^x\ln 2+\frac{1}{(1-x{)}^2}>0$，$f$ 在 $(1,+\infty )$ 递增，$f(x_1)<0<f(x_2)$，选 B。

📌【题干】

Question

（2010年浙江卷(文)） 已知 $x_0$ 是函数 $f(x)=2^x+\frac{1}{1-x}$ 的一个零点. 若 $x_1\in (1,x_0)$，$x_2\in (x_0,+\infty )$，则()

A. $f(x_1)<0$，$f(x_2)<0$　　　　　　　　　　　B. $f(x_1)<0$，$f(x_2)>0$

C. $f(x_1)>0$，$f(x_2)<0$　　　　　　　　　　　D. $f(x_1)>0$，$f(x_2)>0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 当 $x<1$ 时 $2^x>0$ 且 $\frac{1}{1-x}>0$，$f(x)>0$，故零点 $x_0>1$。
2. 当 $x>1$ 时，$f^{\prime }(x)=2^x\ln 2+\frac{1}{(1-x{)}^2}>0$，$f$ 单调递增。
3. $x_1<x_0\Rightarrow f(x_1)<f(x_0)=0$；$x_2>x_0\Rightarrow f(x_2)>f(x_0)=0$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

当 $x<1$ 时，$2^x>0$，$\frac{1}{1-x}>0$，故 $f(x)>0$，零点只可能满足 $x_0>1$。 当 $x>1$ 时， $f^{\prime }(x)=2^x\ln 2+\frac{1}{(1-x{)}^2}>0,$ $f(x)$ 在 $(1,+\infty )$ 上单调递增。 由 $1<x_1<x_0<x_2$ 及单调性： $f(x_1)<f(x_0)=0<f(x_2),$ 即 $f(x_1)<0$，$f(x_2)>0$。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数的零点与单调性

核心方法：先排 $x<1$ 段恒正，再用导数证 $(1,+\infty )$ 上单调

避坑指南：$f^{\prime }(x)=2^x\ln 2+\frac{1}{(1-x{)}^2}$，$\frac{1}{1-x}$ 的导数是 $\frac{1}{(1-x{)}^2}$ 不是 $-\frac{1}{(1-x{)}^2}$（复合函数链式法则）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：零点两侧的函数值符号问题，本质是单调性比较。

结论推广：分段讨论定义域：$x<1$ 时各项恒正，直接排除。

方法推广：单调函数至多一个零点，比较即得大小关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2009-福建卷文-11 单-函数零点估算
• 2011-新课标卷文-10 单-零点所在区间
• 2013-天津卷文-08 单-函数零点比较
• 2009-山东卷文-14 填-函数零点