2010-浙江卷文-10 单-双曲线焦点三角形

本题导读

考查双曲线焦点三角形。$|P{F}_1{|}^2+|P{F}_2{|}^2=14a^2+2c^2$，$|P{F}_1||P{F}_2|=5a^2+c^2$，余弦定理得 $3c^2=9a^2$，$b=\sqrt{2}a$，渐近线 $\sqrt{2}x\pm y=0$，选 D。

📌【题干】

Question

（2010年浙江卷(文)） 设 $O$ 为坐标原点，$F_1$，$F_2$ 是双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的焦点. 若在双曲线上存在点 $P$，满足 $\angle F_{1}P{F}_2=60^{\circ }$，$|OP|=\sqrt{7}a$，则该双曲线的渐近线方程为()

A. $x\pm \sqrt{3}y=0$　　　　B. $\sqrt{3}x\pm y=0$　　　　C. $x\pm \sqrt{2}y=0$　　　　D. $\sqrt{2}x\pm y=0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $OP$ 是 $△F_{1}P{F}_2$ 的中线：$|P{F}_1{|}^2+|P{F}_2{|}^2=2(|OP{|}^2+|O{F}_1{|}^2)=14a^2+2c^2$。
2. 由定义 $||P{F}_1|-|P{F}_2||=2a$，平方得 $|P{F}_1||P{F}_2|=5a^2+c^2$。
3. 余弦定理：$|F_1{F}_2{|}^2=|P{F}_1{|}^2+|P{F}_2{|}^2-2|P{F}_1||P{F}_2|\cos 60^{\circ }$。
4. $4c^2=14a^2+2c^2-(5a^2+c^2)=9a^2+c^2$，$c^2=3a^2$。
5. $b^2=c^2-a^2=2a^2$，渐近线 $y=\pm \sqrt{2}x$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

设 $|P{F}_1|=m$，$|P{F}_2|=n$，$|O{F}_1|=|O{F}_2|=c$。 $OP$ 为 $△F_{1}P{F}_2$ 边 $F_1{F}_2$ 上的中线，由中线公式： $m^2+n^2=2\left(|OP{|}^2+c^2\right)=2(7a^2+c^2)=14a^2+2c^2.$ 由双曲线定义 $|m-n|=2a$，平方得 $2mn=m^2+n^2-4a^2=10a^2+2c^2\Rightarrow mn=5a^2+c^2.$ 在 $△F_{1}P{F}_2$ 中由余弦定理（$\angle F_{1}P{F}_2=60^{\circ }$）： $4c^2=m^2+n^2-2mn\cos 60^{\circ }=(14a^2+2c^2)-(5a^2+c^2)=9a^2+c^2,$ 故 $c^2=3a^2$，$b^2=c^2-a^2=2a^2$，$\frac{b}{a}=\sqrt{2}$。 渐近线方程为 $y=\pm \sqrt{2}x$，即 $\sqrt{2}x\pm y=0$。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线焦点三角形与渐近线

核心方法：中线公式 $+$ 双曲线定义 $+$ 余弦定理三方联立

避坑指南：中线公式 $|P{F}_1{|}^2+|P{F}_2{|}^2=2(|OP{|}^2+c^2)$ 中 $|O{F}_1|=c$ 不是 $a$；渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$ 化成一般式 $\sqrt{2}x\pm y=0$ 才是选项形态。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：焦点三角形的三件宝：定义、余弦定理、中线（或面积）公式。

结论推广：渐近线只由 $\frac{b}{a}$ 决定，求出 $b^2=2a^2$ 即可，不必解 $a$。

方法推广：$60^{\circ }$ 焦点三角形面积 $S=\sqrt{3}{b}^2$，可作旁证。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-04 单-双曲线渐近线
• 2011-北京卷文-10 填-双曲线渐近线
• 2012-大纲卷文-10 单-双曲线焦点三角形
• 2011-湖南卷文-06 单-双曲线渐近线