2008-浙江卷文-13 填-椭圆焦点三角形

本题导读

本题用椭圆定义：椭圆上任意点到两焦点距离之和为 $2a=10$，结合 $F_1$ 在线段 $AB$ 上，把 $|F_{2}A|+|F_{2}B|$ 与 $|AB|$ 联系起来。

📌【题干】

Question

（2008年浙江卷(文)） 已知 $F_1$，$F_2$ 为椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ 的两个焦点，过 $F_1$ 的直线交椭圆于 $A$，$B$ 两点. 若 $|F_{2}A|+|F_{2}B|=12$，则 $|AB|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 椭圆长半轴 $a=5$，故对椭圆上任意点 $X$ 有 $|F_{1}X|+|F_{2}X|=10$。
2. 分别对 $A$、$B$ 用定义，结合 $F_1$ 在线段 $AB$ 上得 $|F_{1}A|+|F_{1}B|=|AB|$。

✅【答案】

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$8$

✍【详细解析】

Abstract

椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ 的长半轴为 $5$，所以对椭圆上任意点 $X$，都有 $|F_{1}X|+|F_{2}X|=2\times 5=10$。 分别对 $A$、$B$ 使用椭圆定义，得 $|F_{2}A|=10-|F_{1}A|$，$|F_{2}B|=10-|F_{1}B|$。 由于直线 $AB$ 经过椭圆内部的焦点 $F_1$，点 $F_1$ 在线段 $AB$ 上，所以 $|F_{1}A|+|F_{1}B|=|AB|$。 因此 $12=|F_{2}A|+|F_{2}B|=(10-|F_{1}A|)+(10-|F_{1}B|)=20-|AB|$，解得 $|AB|=8$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的定义与焦点三角形

核心方法：椭圆定义 $|F_{1}X|+|F_{2}X|=2a$ 消元

避坑指南：$2a=10$ 而非 $6$；$F_1$ 在线段 $AB$ 上才有 $|F_{1}A|+|F_{1}B|=|AB|$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 上海卷文第 12 题、2010 浙江文第 10 题同考焦点三角形。

结论推广：椭圆（双曲线）定义把焦半径和转化为 $2a$ 是核心动作。

方法推广：焦点在弦上时，$|F_{1}A|+|F_{1}B|=|AB|$ 是连接弦长与焦半径的桥梁。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.07 焦点三角形专题

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-12 填-椭圆焦点三角形面积
• 2010-大纲卷I文-08 单-双曲线焦点三角形
• 2009-浙江卷文-06 单-椭圆离心率
• 2010-浙江卷文-10 单-双曲线焦点三角形