2010-浙江卷文-20 解-翻折线面平行与线面角

本题导读

考查翻折与线面角。（1）$GF\parallel BE$ 且 $GF=BE$，$BF\parallel GE\subset$ 平面 $A^{\prime }DE$；（2）$NF\perp$ 平面 $A^{\prime }DE$，$\cos \angle FMN=\frac{MN}{FM}=\frac{1}{2}$。

📌【题干】

Question

（2010年浙江卷(文)） 如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，$AB=2BC$，$\angle ABC=120^{\circ }$. $E$ 为线段 $AB$ 的中点，将 $△ADE$ 沿直线 $DE$ 翻折成 $△A^{\prime }DE$，使平面 $A^{\prime }DE\perp$ 平面 $BCD$，$F$ 为线段 $A^{\prime }C$ 的中点.

(1)求证：$BF\parallel$ 平面 $A^{\prime }DE$；

(2)设 $M$ 为线段 $DE$ 的中点，求直线 $FM$ 与平面 $A^{\prime }DE$ 所成角的余弦值.

🔍【思路分析】

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1. （1）取 $A^{\prime }D$ 的中点 $G$，连 $GF,GE$：$GF$ 是 $△A^{\prime }CD$ 的中位线，$GF\parallel CD$ 且 $GF=\frac{1}{2}CD$；又 $BE\parallel CD$ 且 $BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD$。
2. $GF\parallel BE$ 且 $GF=BE$，四边形 $BEGF$ 为平行四边形，$BF\parallel GE\subset$ 平面 $A^{\prime }DE$。
3. （2）设 $BC=a$：$CE=\sqrt{3}a$，$DE=a$，$CD=2a$，$C{D}^2=C{E}^2+D{E}^2$，故 $CE\perp DE$；$△ADE$ 为正三角形，$A^{\prime }M\perp DE$。
4. 由面面垂直，$A^{\prime }M\perp$ 平面 $BCD$，$A^{\prime }M\perp CE$；故 $CE\perp$ 平面 $A^{\prime }DE$。
5. 取 $A^{\prime }E$ 的中点 $N$：$NF\parallel CE$，$NF\perp$ 平面 $A^{\prime }DE$，$\angle FMN$ 即线面角。
6. $NF=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，$MN=\frac{1}{2}{A}^{\prime }D=\frac{a}{2}$，$FM=\sqrt{N{F}^2+M{N}^2}=a$，$\cos \angle FMN=\frac{MN}{FM}=\frac{1}{2}$。

✅【答案】

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(1) 见解析

(2) $\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）取 $A^{\prime }D$ 的中点 $G$，连结 $GF$，$GE$。 在 $△A^{\prime }CD$ 中，$G$，$F$ 分别为 $A^{\prime }D$，$A^{\prime }C$ 的中点，故 $GF\parallel CD,GF=\frac{1}{2}CD.$ 又 $E$ 为 $AB$ 的中点，$BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD$，且 $BE\parallel CD$， 所以 $GF\parallel BE$，$GF=BE$，四边形 $BEGF$ 为平行四边形， $BF\parallel GE.$ 而 $GE\subset$ 平面 $A^{\prime }DE$，$BF$ 不在平面 $A^{\prime }DE$ 内，故 $BF\parallel \text{平面 }{A}^{\prime }DE.$ （2）设 $BC=a$，则 $AB=CD=2a$，$AD=AE=EB=a$。 在 $△BCE$ 中，$\angle EBC=120^{\circ }$，由余弦定理得 $CE=\sqrt{3}a$； 又 $△ADE$ 中 $AD=AE=a$，$\angle DAE=60^{\circ }$，故 $△ADE$ 为正三角形，$DE=a$。 在 $△CDE$ 中，$C{D}^2=4a^2=C{E}^2+D{E}^2$，故 $CE\perp DE$。 $M$ 为正三角形 $A^{\prime }DE$ 边 $DE$ 的中点，$A^{\prime }M\perp DE$； 由平面 $A^{\prime }DE\perp$ 平面 $BCD$，交线为 $DE$，得 $A^{\prime }M\perp$ 平面 $BCD$，故 $A^{\prime }M\perp CE$。 于是 $CE\perp DE$ 且 $CE\perp A^{\prime }M$，得 $CE\perp$ 平面 $A^{\prime }DE$。 取 $A^{\prime }E$ 的中点 $N$，连结 $NM$，$NF$。在 $△A^{\prime }CE$ 中 $NF$ 为中位线， $NF\parallel CE$，故 $NF\perp$ 平面 $A^{\prime }DE$，$\angle FMN$ 即为直线 $FM$ 与平面 $A^{\prime }DE$ 所成的角。 在 $\mathrm{Rt}△FMN$ 中： $NF=\frac{1}{2}CE=\frac{\sqrt{3}}{2}a,MN=\frac{1}{2}{A}^{\prime }D=\frac{a}{2},FM=\sqrt{N{F}^2+M{N}^2}=a,$ $\cos \angle FMN=\frac{MN}{FM}=\frac{1}{2}.$ 故直线 $FM$ 与平面 $A^{\prime }DE$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：翻折问题中的平行与线面角

核心方法：中位线造平行四边形证线面平行；$CE\perp$ 平面 $A^{\prime }DE$ 后取中点 $N$ 转化线面角

避坑指南：翻折前后 $△ADE$ 的边长不变（正三角形 $DE=a$）；面面垂直的性质用交线 $DE$ 上的垂线 $A^{\prime }M$；$\cos \angle FMN=\frac{MN}{FM}$ 邻边比斜边别用反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：证线面平行的两条路：面内找平行线（中位线、平行四边形）或面面平行。

结论推广：翻折问题的关键：折痕两侧各自保持平面图形性质，变的只是二面角。

方法推广：求线面角先找（造）平面的垂线，垂足与斜足连线即射影。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2009-浙江卷文-19 解-线面平行与线面角
• 2009-福建卷文-20 解-折叠与线面垂直
• 2011-江西卷文-18 解-翻折棱锥体积与垂直
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