2009-福建卷文-20 解-折叠与线面垂直

本题导读

考查折叠与线面垂直。(1) $AB\cdot BD=0$ 且 $E{D}^2+B{D}^2=E{B}^2$ 得 $ED\perp BD$，结合面面垂直得 $ED\perp$ 平面 $ABD$，从而 $AB\perp DE$；(2) 三个侧面面积和为 $8+2\sqrt{3}$。

📌【题干】

Question

（2009年福建卷(文)） 如图，平行四边形 $ABCD$ 中，$\angle DAB=60^{\circ }$，$AB=2$，$AD=4$.将 $△CBD$ 沿 $BD$ 折起到 $△EBD$ 的位置，使平面 $EDB\perp$ 平面 $ABD$.

(1) 求证：$AB\perp DE$；

(2) 求三棱锥 $E-ABD$ 的侧面积.

🔍【思路分析】

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1. (1) 先在原平面内证 $AB\perp BD$：$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$，数量积算出为 $0$；或用余弦定理 $B{D}^2=4+16-8=12$，$A{B}^2+B{D}^2=16=A{D}^2$。
2. 折叠不改变边长：$ED=CD=AB=2$，$EB=CB=AD=4$，故 $E{D}^2+B{D}^2=4+12=16=E{B}^2$，得 $ED\perp BD$。
3. 平面 $EDB\perp$ 平面 $ABD$，交线为 $BD$，故 $ED\perp$ 平面 $ABD$，从而 $AB\perp DE$。
4. (2) 由 $AB\perp BD$ 且面面垂直得 $AB\perp$ 平面 $EDB$，故 $AB\perp EB$；由 $ED\perp$ 平面 $ABD$ 得 $ED\perp AD$。
5. 三个侧面面积分别为 $\frac{1}{2}AB\cdot EB=4$，$\frac{1}{2}AD\cdot ED=4$，$\frac{1}{2}BD\cdot ED=2\sqrt{3}$，相加即可。

✅【答案】

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(1) 证明见解析；(2) 侧面积为 $8+2\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由平行四边形得 $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$。 因此 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}-|\overrightarrow{AB}{|}^2=2\times 4\cos 60^{\circ }-2^2=0$，从而 $AB\perp BD$。 折叠不改变三角形的边长，所以 $ED=CD=AB=2$，$EB=CB=AD=4$。 在原平面内，$B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2-2\cdot AB\cdot AD\cos 60^{\circ }=4+16-8=12$， 于是 $E{D}^2+B{D}^2=4+12=16=E{B}^2$，故 $ED\perp BD$。 因为平面 $EDB\perp$ 平面 $ABD$，且两平面的交线为 $BD$，所以 $ED\perp$ 平面 $ABD$，从而 $AB\perp DE$。 (2) 由 $AB\perp BD$ 且两平面互相垂直，得 $AB\perp$ 平面 $EDB$，所以 $AB\perp EB$；又由 $ED\perp$ 平面 $ABD$ 得 $ED\perp AD$。 三棱锥的三个侧面面积分别为 $S_{△EAB}=\frac{1}{2}AB\cdot EB=\frac{1}{2}\times 2\times 4=4$， $S_{△EAD}=\frac{1}{2}AD\cdot ED=\frac{1}{2}\times 4\times 2=4$， $S_{△EBD}=\frac{1}{2}BD\cdot ED=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{3}\times 2=2\sqrt{3}$。 因此三棱锥 $E-ABD$ 的侧面积为 $4+4+2\sqrt{3}=8+2\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直与折叠问题

核心方法：数量积或余弦定理证线线垂直，再用面面垂直性质升级

避坑指南：$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BD}=0$ 证 $AB\perp BD$（折叠后不变）；勾股逆定理 $E{D}^2+B{D}^2=E{B}^2$ 证 $ED\perp BD$；面面垂直 + 交线垂线 $\Rightarrow$ 线面垂直，逐面升级后三个侧面面积全部可用直角三角形算出。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：折叠问题先列”变与不变”：边长不变，角度与位置改变。

结论推广：面面垂直的性质定理：交线垂直于另一面内的线 $\Rightarrow$ 垂直于该面。

方法推广：侧面积 = 各侧面（三角形）面积之和，先证出垂直关系再套 $\frac{1}{2}\times$直角边$\times$直角边。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 21.02 空间向量与线面位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-18 解-向量垂直与三棱锥体积
• 2011-大纲卷文-20 解-四棱锥线面垂直与线面角
• 2011-江苏卷-17 解-包装盒折叠最值