2010-浙江卷理-04 单-三角函数

本题导读

本题考查充分条件与必要条件的判定，结合三角函数在第一象限的性质进行不等式推导。

📌【题干】

Question

（2010年浙江卷(理)） 设 $0<x<\frac{\pi }{2}$，则“$x{\sin }^{2}x<1$”是“$x\sin x<1$”的()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判定充分性：当 $0<x<\frac{\pi }{2}$ 时，由 $x{\sin }^{2}x<1$ 是否能推出 $x\sin x<1$（寻找反例或证明）。
2. 判定必要性：由 $x\sin x<1$ 能否推出 $x{\sin }^{2}x<1$。利用 $0<\sin x<1$，有 $x{\sin }^{2}x=(x\sin x)\cdot \sin x<x\sin x$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

在 $0<x<\frac{\pi }{2}$ 上，有 $0<\sin x<1$。

• 必要性判定： 若 $x\sin x<1$，因为 $0<\sin x<1$，所以： $x{\sin }^{2}x=(x\sin x)\cdot \sin x<1\cdot 1=1$ 即 “$x\sin x<1$” 能推出 “$x{\sin }^{2}x<1$”。 故 “$x{\sin }^{2}x<1$” 是 “$x\sin x<1$” 的必要条件。

• 充分性判定： 取 $x=\frac{\pi }{3}\approx 1.047$，此时 $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.866$。

• $x{\sin }^{2}x=\frac{\pi }{3}\cdot \frac{3}{4}=\frac{\pi }{4}\approx 0.785<1$，满足条件“$x{\sin }^{2}x<1$”；

• 但 $x\sin x=\frac{\pi }{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}\pi }{6}\approx \frac{1.732\times 3.1415}{6}\approx 0.906<1$； 进一步取接近 $\frac{\pi }{2}$ 的值，例如取 $x=1.3\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$：

• $\sin 1.3\approx 0.96356$；

• $x\sin x=1.3\times 0.96356=1.2526>1$；

• $x{\sin }^{2}x=1.3\times (0.96356{)}^2=1.206>1$。 精确构造反例：设 $f(x)=x{\sin }^{2}x$，当 $x\to \frac{\pi }{2}$ 时 $f(x)\to \frac{\pi }{2}>1$。由介值定理，存在 $x_0\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 使 $x_0{\sin }^2{x}_0=0.95<1$，但 $x_0\sin x_0=\frac{0.95}{\sin x_0}$，当 $\sin x_0<0.95$ 时，可使 $x_0\sin x_0>1$。 例如取 $x=1.2\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$： $\sin 1.2\approx 0.9320$，则： $x\sin x=1.2\times 0.9320=1.1184>1$； $x{\sin }^{2}x=1.2\times 0.8687=1.042>1$。 找 $x{\sin }^{2}x<1$ 但 $x\sin x>1$ 的 $x$： 解 $x\sin x>1⟺\sin x>\frac{1}{x}$。令 $g(x)=x\sin x-1$，在 $x=1.2$ 处 $g(1.2)=0.1184>0$；在 $x=1.1$ 处 $\sin 1.1\approx 0.8912⟹x\sin x=0.980<1$。 当 $x=1.15$ 时，$\sin 1.15\approx 0.9128⟹x\sin x=1.0497>1$，此时 $x{\sin }^{2}x=1.0497\times 0.9128=0.958<1$。 因此，当 $x=1.15$ 时，$x{\sin }^{2}x<1$ 成立，但 $x\sin x>1$，充分性不成立。

因此，“$x{\sin }^{2}x<1$” 是 “$x\sin x<1$” 的必要而不充分条件。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：充分条件与必要条件的定义与判断。
2. 核心方法：小推大（范围小的条件能推出范围大的条件）或反例法判定充分性，放缩法证明必要性。
3. 避坑指南：因为 $0<\sin x<1$，乘以 $\sin x$ 会缩小数值，所以 $x{\sin }^{2}x<x\sin x$，说明 $x{\sin }^{2}x<1$ 范围更大，是大条件（必要不充分）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：结合三角函数性质的充要条件判定题。
2. 结论推广：在 $(0,1)$ 区间因子乘积下，$A\cdot B<A$，条件越强（范围越小）越容易满足小于 $1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数