2010-浙江卷理-05 单-三角

本题导读

本题考查复数的代数表示、共轭复数及复数模长的三角不等式性质。

📌【题干】

Question

（2010年浙江卷(理)） 对任意复数 $z=x+y\mathrm{i}(x,y\in \mathbb{R})$，$\mathrm{i}$ 为虚数单位，则下列结论正确的是()

A. $|z-\bar{z}|=2y$　　　　　　　　　　　　　　B. $z^2=x^2+y^2$

C. $|z-\bar{z}|\ge 2x$　　　　　　　　　　　　　　　　D. $|z|\le |x|+|y|$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 已知 $z=x+y\mathrm{i}$，则共轭复数 $\bar{z}=x-y\mathrm{i}$，$z-\bar{z}=2y\mathrm{i}$。
2. 依次计算各选项的代数表达式：

• $|z-\bar{z}|=|2y\mathrm{i}|=2|y|$，当 $y<0$ 时不等于 $2y$；
• $z^2=x^2-y^2+2xy\mathrm{i}$；
• $|z|=\sqrt{x^2+y^2}\le \sqrt{x^2+y^2+2|x||y|}=|x|+|y|$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

• A项：$z-\bar{z}=(x+y\mathrm{i})-(x-y\mathrm{i})=2y\mathrm{i}$，所以 $|z-\bar{z}|=|2y\mathrm{i}|=2|y|$。仅当 $y\ge 0$ 时等于 $2y$，错误；
• B项：$z^2=(x+y\mathrm{i}{)}^2=x^2-y^2+2xy\mathrm{i}$，一般不等于 $x^2+y^2$，错误；
• C项：$|z-\bar{z}|=2|y|$，其大小与 $2x$ 无必然大小关系（如取 $x=2,y=0$ 时， $0<4$），错误；
• D项：因为 $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$，且 $|x|+|y|=\sqrt{(|x|+|y|{)}^2}=\sqrt{x^2+y^2+2|x||y|}\ge \sqrt{x^2+y^2}$，所以 $|z|\le |x|+|y|$ 恒成立，正确。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：共轭复数定义 $\bar{z}=x-y\mathrm{i}$、复数模的定义与三角不等式 $|z|\le |x|+|y|$。
2. 核心方法：代数化简法与公式比较。
3. 避坑指南：注意复数模是实数且非负，$|2y\mathrm{i}|=2|y|$，切勿漏掉绝对值符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：复数模长基本代数性质与几何意义考查。
2. 结论推广：在复平面上，对复数 $z=x+y\mathrm{i}$，表示向量 $(x,y)$ 的模长，满足几何三角不等式 $|x|+|y|\ge \sqrt{x^2+y^2}=|z|$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2011-陕西卷文-08 单-三角值域与复数模交集
• 2013-四川卷理-15 填-三角形不等式
• 2013-辽宁卷文-21 解-三角不等式与恒成立