2010-浙江卷理-16 填-解三角形

本题导读

本题考查平面向量的几何意义与夹角公式，利用向量减法构建三角形并借助余弦定理求解模长的取值范围。

📌【题干】

Question

（2010年浙江卷(理)） 已知平面向量 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }(\mathbf{\alpha }\ne 0,\mathbf{\alpha }\ne \mathbf{\beta })$ 满足 $|\mathbf{\beta }|=1$，且 $\mathbf{\alpha }$ 与 $\mathbf{\beta }-\mathbf{\alpha }$ 的夹角为 $120^{\circ }$，则 $|\mathbf{\alpha }|$ 的取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 构建向量几何图形：

• 设 $\overrightarrow{OA}=\mathbf{\alpha }$，$\overrightarrow{OB}=\mathbf{\beta }$，则由向量减法 $\overrightarrow{AB}=\mathbf{\beta }-\mathbf{\alpha }$。
• 在 $△OAB$ 中，$OA=|\mathbf{\alpha }|$，$OB=|\mathbf{\beta }|=1$，$AB=|\mathbf{\beta }-\mathbf{\alpha }|$。

2. 分析角关系：

• 向量 $\mathbf{\alpha }$ 与 $\mathbf{\beta }-\mathbf{\alpha }$ 的夹角为 $120^{\circ }$，即向量 $\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{AB}$ 的夹角为 $120^{\circ }$。
• 在 $△OAB$ 内部，内角 $\angle OAB=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$。

3. 应用余弦定理列式：

• 在 $△OAB$ 中，设 $OA=x>0$，$AB=y>0$，应用余弦定理： $O{B}^2=O{A}^2+A{B}^2-2OA\cdot AB\cos \angle OAB⟹1^2=x^2+y^2-2xy\cos 60^{\circ }$ $x^2-yx+y^2-1=0$
• 关于 $y$ 的二次方程必须有正实根，或者利用正弦定理直接确定 $x=|\mathbf{\alpha }|$ 的取值范围。

✅【答案】

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$\left(0,\frac{2\sqrt{3}}{3}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：几何图形建模 如图，设 $\overrightarrow{OA}=\mathbf{\alpha }$，$\overrightarrow{OB}=\mathbf{\beta }$，则 $\overrightarrow{AB}=\mathbf{\beta }-\mathbf{\alpha }$。 已知 $|\mathbf{\beta }|=1⟹OB=1$。

向量 $\mathbf{\alpha }$（即 $\overrightarrow{OA}$）与向量 $\mathbf{\beta }-\mathbf{\alpha }$（即 $\overrightarrow{AB}$）的夹角为 $120^{\circ }$。 在 $△OAB$ 中，内角 $\angle OAB=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$。

第二步：正弦定理求解 设 $\angle AOB=\theta$，因为 $△OAB$ 的内角和为 $180^{\circ }$，且 $\angle OAB=60^{\circ }$，所以： $0^{\circ }<\theta <120^{\circ }$

在 $△OAB$ 中，由正弦定理： $\frac{OA}{\sin \angle OBA}=\frac{OB}{\sin \angle OAB}⟹\frac{|\mathbf{\alpha }|}{\sin (120^{\circ }-\theta )}=\frac{1}{\sin 60^{\circ }}$

所以： $|\mathbf{\alpha }|=\frac{\sin (120^{\circ }-\theta )}{\sin 60^{\circ }}=\frac{2}{\sqrt{3}}\sin (120^{\circ }-\theta )$

第三步：确定 $|\mathbf{\alpha }|$ 的取值范围 因为 $0^{\circ }<\theta <120^{\circ }$，所以： $0^{\circ }<120^{\circ }-\theta <120^{\circ }$

根据正弦函数在 $(0^{\circ },120^{\circ })$ 上的取值范围：

• 当 $120^{\circ }-\theta =90^{\circ }$（即 $\theta =30^{\circ }$）时，$\sin (120^{\circ }-\theta )$ 取得最大值 $1$；
• 当 $120^{\circ }-\theta \to 0^{\circ }$ 时，$\sin (120^{\circ }-\theta )\to 0$；
• 当 $120^{\circ }-\theta =120^{\circ }$（即 $\theta \to 0^{\circ }$）时，$\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

故 $\sin (120^{\circ }-\theta )$ 的取值范围为 $\left(0,1\right]$。

所以 $|\mathbf{\alpha }|$ 的取值范围为： $|\mathbf{\alpha }|\in \left(0,\frac{2}{\sqrt{3}}\right]⟺\left(0,\frac{2\sqrt{3}}{3}\right]$

故答案为：$\left(0,\frac{2\sqrt{3}}{3}\right]$（或 $0<|\mathbf{\alpha }|\le \frac{2\sqrt{3}}{3}$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量几何意义、正弦定理求边长范围。
2. 核心方法：构建 $△OAB$ $\to$ 向量夹角转化为内角 $\angle OAB=60^{\circ }\to$ 正弦定理表示边长并根据角范围求最值。
3. 避坑指南：向量夹角与三角形内角互补，$\angle OAB=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$；注意条件 $\mathbf{\alpha }\ne 0⟹|\mathbf{\alpha }|>0$，左端点为开区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：平面向量加减法几何意义与解三角形结合的经典题。
2. 结论推广：对已知 $|\mathbf{\beta }|=R$ 及 $\mathbf{\alpha }$ 与 $\mathbf{\beta }-\mathbf{\alpha }$ 夹角 $\theta$ 的问题，$|\mathbf{\alpha }{|}_{\max }=\frac{R}{\sin \theta }$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-山东卷文-17 解-正余弦定理解三角形
• 2011-湖北卷文-16 解-正余弦定理解三角形
• 2011-辽宁卷文-17 解-正余弦定理解三角形