2010-浙江卷理-18 解-解三角形

本题导读

本题考查解三角形的基本运用，通过余弦倍角公式求角 $C$ 的正弦值，结合正弦定理与余弦定理求解三角形的未知边长。

📌【题干】

Question

（2010年浙江卷(理)） 18. 在 $△ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，已知 $\cos 2C=-\frac{1}{4}$.

(1) 求 $\sin C$ 的值；

(2) 当 $a=2,2\sin A=\sin C$ 时，求 $b$ 及 $c$ 的长.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：

• 利用二倍角公式 $\cos 2C=1-2{\sin }^{2}C=-\frac{1}{4}$；
• 解出 ${\sin }^{2}C=\frac{5}{8}$，注意三角形内角正弦值恒大于 0，故取正根开方化简。

2. 第 (2) 问：

• 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$ 结合已知条件 $2\sin A=\sin C$ 求出 $c$ 的长；
• 利用同角关系求出 $\cos C$ 的值（注意验证角 $C$ 的范围）；
• 应用余弦定理 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ 构造关于 $b$ 的一元二次方程并求解。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 求 $\sin C$ 的值

由余弦的二倍角公式： $\cos 2C=1-2{\sin }^{2}C$

已知 $\cos 2C=-\frac{1}{4}$，代入得： $1-2{\sin }^{2}C=-\frac{1}{4}⟹2{\sin }^{2}C=\frac{5}{4}⟹{\sin }^{2}C=\frac{5}{8}$

在 $△ABC$ 中，$C\in (0,\pi )$，故 $\sin C>0$。 所以： $\sin C=\sqrt{\frac{5}{8}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$

---

(2) 求 $b$ 及 $c$ 的长

• 第一步：求边 $c$ 的长 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$ 可得： $c=\frac{a\sin C}{\sin A}$

已知 $a=2$ 且 $\sin C=2\sin A$，代入得： $c=\frac{2\cdot 2\sin A}{\sin A}=4$

• 第二步：求 $\cos C$ 的值 由 (1) 知 $\sin C=\frac{\sqrt{10}}{4}$，则： ${\cos }^{2}C=1-{\sin }^{2}C=1-\frac{5}{8}=\frac{3}{8}$

因为 $c=4>a=2⟹C>A$，且根据题意 $\cos 2C=-\frac{1}{4}<0⟹2C\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)⟹C\in \left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$ 为锐角。 所以： $\cos C=\sqrt{\frac{3}{8}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$

• 第三步：由余弦定理求 $b$ 的长 根据余弦定理 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$： $4^2=2^2+b^2-2\cdot 2\cdot b\cdot \frac{\sqrt{6}}{4}$ $16=4+b^2-\sqrt{6}b⟹b^2-\sqrt{6}b-12=0$

解关于 $b$ 的一元二次方程： $b=\frac{\sqrt{6}\pm \sqrt{(\sqrt{6}{)}^2-4\times 1\times (-12)}}{2}=\frac{\sqrt{6}\pm \sqrt{6+48}}{2}=\frac{\sqrt{6}\pm \sqrt{54}}{2}=\frac{\sqrt{6}\pm 3\sqrt{6}}{2}$

因为边长 $b>0$，舍去负根： $b=\frac{\sqrt{6}+3\sqrt{6}}{2}=2\sqrt{6}$

答：$b=2\sqrt{6}$，$c=4$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二倍角公式 $\cos 2C=1-2{\sin }^{2}C$、正弦定理边角转换、余弦定理解三角形。
2. 核心方法：由二倍角求正弦 $\to$ 正弦定理求 $c\to$ 余弦定理列方程求 $b$。
3. 避坑指南：第 (2) 问中确定 $\cos C$ 的符号时，由 $\cos 2C=-\frac{1}{4}<0$ 可推知 $2C\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$，故 $C\in \left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$，角 $C$ 必为锐角，应取正值 $\cos C=\frac{\sqrt{6}}{4}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考解三角形解答题第 18 题标准考法。
2. 结论推广：解三角形中若已知一个角的倍角三角函数值，均可通过倍角公式转换为原角的一倍三角函数值进行后续求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数