2010-浙江卷理-19 解-二项分布

本题导读

本题考查利用管道分叉路径分析事件发生的概率、求离散型随机变量的分布列与数学期望，以及二项分布概率公式的应用。

📌【题干】

Question

（2010年浙江卷(理)） 19. 如图，一个小球从 $M$ 处投入，通过管道自上而下落到 $A$ 或 $B$ 或 $C$. 已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的. 某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到 $A,B,C$，则分别设为 $1,2,3$ 等奖.

(1) 已知获得 $1,2,3$ 等奖的折扣率分别为 $50\%,70\%,90\%$. 记随机变量 $\xi$ 为获得 $k(k=1,2,3)$ 等奖的折扣率，求随机变量 $\xi$ 的分布列及期望 $E\xi$；

(2) 若有 $3$ 人次（投入 $1$ 球为 $1$ 人次）参加促销活动，记随机变量 $\eta$ 为获得 $1$ 等奖或 $2$ 等奖的人次，求 $P(\eta =2)$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析小球落入 $A,B,C$ 的概率： 小球从 $M$ 点向下落，共经过 3 层叉口，每次下落选择左、右管道的概率均为 $\frac{1}{2}$。

• 落入 $C$（最左侧）：需要连续 3 次选择左边，概率为 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}$。
• 落入 $B$（最右侧）：需要连续 3 次选择右边，概率为 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}$。
• 落入 $A$（中间）：除了落入 $B$ 和 $C$ 外的所有路径均落入 $A$，概率为 $1-PB.-PC.=1-\frac{1}{8}-\frac{1}{8}=\frac{3}{4}$（或按路径计数，共 6 条路径落入 $A$，$6\times \frac{1}{8}=\frac{3}{4}$）。

2. 第 (1) 问： $\xi$ 的可能取值为 $50\%,70\%,90\%$（对应落入 $A,B,C$），列出概率分布列并求 $E\xi$。
3. 第 (2) 问： 单人参加活动获得 1 等奖或 2 等奖（即落入 $A$ 或 $B$）的概率为 $p=PA.+PB.=\frac{3}{4}+\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$。 3 人参加属于 3 重伯努利试验，$\eta \sim B\left(3,\frac{7}{8}\right)$，利用二项分布公式求 $P(\eta =2)$。

✅【答案】

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$P(𝜉=50$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求小球落到 $A,B,C$ 各出口的概率

由题意，小球在管道自上而下经过 $3$ 层分叉，每次向左或向右下落的概率均为 $\frac{1}{2}$。

• 小球落入 $C$ 出口（3 等奖）：需要连续 $3$ 次选择左管道，概率为： $PC.={\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}$

• 小球落入 $B$ 出口（2 等奖）：需要连续 $3$ 次选择右管道，概率为： $PB.={\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}$

• 小球落入 $A$ 出口（1 等奖）：落入中间 $A$ 的概率为： $PA.=1-PB.-PC.=1-\frac{1}{8}-\frac{1}{8}=\frac{3}{4}$

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(1) 求随机变量 $\xi$ 的分布列及期望 $E\xi$

随机变量 $\xi$ 的可能取值为 $50\%,70\%,90\%$.

对应概率分别如下：

• $P(\xi =50\%)=PA.=\frac{3}{4}$；
• $P(\xi =70\%)=PB.=\frac{1}{8}$；
• $P(\xi =90\%)=PC.=\frac{1}{8}$.

故 $\xi$ 的分布列为：

$\xi$	$50\%$	$70\%$	$90\%$
$P$	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$

计算数学期望 $E\xi$： $E\xi =50\%\times \frac{3}{4}+70\%\times \frac{1}{8}+90\%\times \frac{1}{8}$ $E\xi =\frac{150\%}{4}+\frac{160\%}{8}=37.5\%+20\%=57.5\%\left(\text{或 }\frac{23}{40}\right)$

答：$\xi$ 的分布列如上表，期望 $E\xi =57.5\%$.

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(2) 求 $P(\eta =2)$

设单人次参加活动获得 $1$ 等奖或 $2$ 等奖的概率为 $p$： $p=PA.+PB.=\frac{3}{4}+\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$

有 $3$ 人次参加活动，每人次活动互相独立，故随机变量 $\eta$ 服从二项分布 $\eta \sim B\left(3,\frac{7}{8}\right)$.

由二项分布概率计算公式： $P(\eta =2)={\mathrm{C}}_3^2{p}^2(1-p{)}^{3-2}={\mathrm{C}}_3^2{\left(\frac{7}{8}\right)}^2{\left(1-\frac{7}{8}\right)}^1$ $=3\times \frac{49}{64}\times \frac{1}{8}=\frac{147}{512}$

答：$P(\eta =2)=\frac{147}{512}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：概率树图分叉路径计算、离散型随机变量分布列与期望、二项分布公式 $P(X=k)={\mathrm{C}}_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$。
2. 核心方法：

• 先通过全概率公式确定 $PA.,PB.,PC.$ 基础概率；
• 将多次独立试验转化为二项分布直接代入公式求解。

3. 避坑指南：第 (2) 问“获得 1 等奖或 2 等奖”是互斥事件求和（$P=PA.+PB.=\frac{7}{8}$），切勿只计算获得 1 等奖的概率。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：经典的杨辉三角/高尔顿板管道分球概率模型。
2. 结论推广：对 $n$ 层分支的高尔顿板，落入第 $k$ 个出口的概率为 ${\mathrm{C}}_n^k{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-13 填-生日对立事件概率
• 2011-上海卷理-12 填-期望
• 2011-北京卷文-16 解-茎叶图与概率