2010-湖北卷理-02 单-椭圆

本题导读

本题考查集合的交集运算、子集个数计算公式以及超越方程（椭圆与指数函数图象）交点个数的判定。

📌【题干】

Question

（2010年湖北卷(理)） 设集合 $A=\left\{(x,y)|\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1\right\}$, $B=\{(x,y)\mid y=3^x\}$, 则 $A\cap B$ 的子集的个数是 ()

A. 4　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. 1

🔍【思路分析】

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1. 确定集合 $A$ 为椭圆上的点，集合 $B$ 为指数函数 $y=3^x$ 图象上的点。
2. 结合函数图象单调性与边界值，判断椭圆与指数函数图象交点个数 $n$。
3. 由集合 $A\cap B$ 的元素个数 $n$，计算其子集个数 $2^n$。

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A

✍【详细解析】

Abstract

集合 $A$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1$，顶点坐标为 $(0,\pm 4)$ 和 $(\pm 2,0)$。 集合 $B$ 表示指数函数 $y=3^x$ 的图象。 分析图象交点情况：

• 当 $x>0$ 时，指数函数单调递增，且 $3^0=1<4$，$3^2=9>4$。由连续性可知在 $x\in (0,2)$ 内两图象有 1 个交点。
• 当 $x\le 0$ 时，$y=3^x\in (0,1]$；而椭圆左侧上半部分在 $x\in [-2,0]$ 上 $y=\sqrt{16(1-\frac{x^2}{4})}$ 从 $0$ 连续增至 $4$。在 $x=-2$ 处 $3^{-2}=\frac{1}{9}>0$，故在 $x\in (-2,0)$ 内两图象又有 1 个交点。 因此，椭圆与指数函数图象恰有 2 个交点，即 $A\cap B$ 中有 2 个元素。 故 $A\cap B$ 的子集个数为 $2^2=4$。 故选 A.。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：图象交点法求集合元素个数，含 $n$ 个元素的集合其子集个数为 $2^n$。
2. 核心方法：数形结合，通过代入关键端点值验证曲线交点位置。
3. 避坑指南：注意题目问的是“子集个数”而非“交点个数”；漏算子集公式易误选 C.。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于人教A版必修一集合概念与必修二圆锥曲线知识的跨模块综合应用。
2. 结论推广：若有限集 $M$ 的元素个数为 $k$，则其子集个数为 $2^k$，真子集个数为 $2^k-1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-21 解-指数型函数单调性
• 2011-上海卷理-20 解-指数函数
• 2011-北京卷文-18 解-含参指数函数最值