2010-湖北卷理-04 单-概率

本题导读

本题考查相互独立事件的概率计算及“至少有一个发生”的对立事件求解技巧。

📌【题干】

Question

（2010年湖北卷(理)） 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件 $A$，“骰子向上的点数是 3”为事件 $B$，则事件 $A,B$ 中至少有一件发生的概率是 ()

A. $\frac{5}{12}$　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　C. $\frac{7}{12}$　　　　　　D. $\frac{3}{4}$

🔍【思路分析】

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1. 求出事件 $A$ 与事件 $B$ 各自发生的概率及对立事件概率。
2. 判断事件 $A$ 与 $B$ 相互独立。
3. 用对立事件法计算“至少有一件发生”的概率：$P=1-P(\bar{A})P(\bar{B})$。

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C

✍【详细解析】

Abstract

投掷一枚均匀硬币，正面朝上的概率 $PA.=\frac{1}{2}$，其对立事件概率 $P(\bar{A})=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。 投掷一枚均匀骰子，点数是 3 的概率 $PB.=\frac{1}{6}$，其对立事件概率 $P(\bar{B})=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$。 由于硬币与骰子的结果互不影响，故事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，“$A,B$ 中至少有一件发生”的对立事件为“$A,B$ 都不发生”。 因此，所求概率为： $P=1-P(\bar{A})P(\bar{B})=1-\frac{1}{2}\times \frac{5}{6}=1-\frac{5}{12}=\frac{7}{12}$ 故选 C.。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：相互独立事件概率计算、对立事件公式。
2. 核心方法：对立事件法 $P(A\cup B)=1-P(\bar{A}\bar{B})$，或和事件公式 $P(A\cup B)=PA.+PB.-P(AB)$。
3. 避坑指南：直接用 $PA.+PB.=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$ 属于常见错误，忽略了 $A,B$ 同时发生时的重复扣除。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于人教A版选修2-3《概率》章节古典概型与独立事件综合应用题。
2. 结论推广：若 $n$ 个相互独立事件 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 发生的概率分别为 $p_1,p_2,\cdots ,p_n$，则至少有一个发生的概率为 $1-{\prod }_{i=1}^n(1-p_i)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-13 填-生日对立事件概率
• 2011-北京卷文-16 解-茎叶图与概率
• 2011-大纲卷文-19 解-独立事件概率