2010-湖北卷理-11 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理展开式的通项公式及项的系数为有理数的判定方法。

📌【题干】

Question

（2010年湖北卷(理)） 在 ${\left(x+\sqrt[4]{3}y\right)}^{20}$ 的展开式中，系数为有理数的项共有$\underline{}$项.

🔍【思路分析】

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1. 写出展开式的通项公式 $T_{k+1}=C_{20}^k{x}^{20-k}(\sqrt[4]{3}y{)}^k$。
2. 整理得出系数项表达式，分析根号开方指数为整数的充要条件（即 $k$ 为 4 的倍数）。
3. 在 $0\le k\le 20$ 的范围内求解 $k$ 的个数。

✅【答案】

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$6$

✍【详细解析】

Abstract

展开式的通项为： $T_{k+1}=C_{20}^k{x}^{20-k}{\left(3^{\frac{1}{4}}y\right)}^k=C_{20}^k{3}^{\frac{k}{4}}{x}^{20-k}{y}^k(k=0,1,2,\dots ,20)$ 要使该项的系数 $C_{20}^k{3}^{\frac{k}{4}}$ 为有理数，因 $C_{20}^k$ 为整数，则必须满足 $\frac{k}{4}\in \mathbb{Z}$，即 $k$ 为 4 的倍数。 又因为 $k\in \{0,1,2,\dots ,20\}$， 所以 $k$ 的可能取值为：$0,4,8,12,16,20$，共 6 个值。 故系数为有理数的项共有 6 项。

【答案】：6

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开式通项 $T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$ 的系数计算。
2. 核心方法：将无理数表示为分数指数幂，通过要求指数为整数确定项数。
3. 避坑指南：注意 $k$ 的取值从 $0$ 开始，容易遗漏 $k=0$ 的情形。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于人教A版选修2-3《二项式定理》课后关于有理项与无理项的典型习题。
2. 结论推广：形如 $(a+b\sqrt[m]{c}{)}^n$ 的展开式中，有理项的个数为集合 $\left\{k\in \mathbb{N}|0\le k\le n,m\mid k\right\}$ 的元素个数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-13 填-二项式特定项
• 2011-大纲卷文-13 填-二项式系数差
• 2011-天津卷理-05 单-二项式定理