2010-湖北卷理-12 填-线性规划

本题导读

本题考查线性规划问题中利用二元一次不等式组确定平面可行域并求目标函数最大值。

📌【题干】

Question

（2010年湖北卷(理)） 已知 $z=2x-y$，式中变量 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}y\le x\\ x+y\ge 1\\ x\le 2\end{array}$，则 $z$ 的最大值为$\underline{}$ .

🔍【思路分析】

破题导航

1. 在平面直角坐标系中画出不等式组表示的可行域。
2. 求解可行域各交点（顶点）坐标。
3. 将目标函数变形为 $y=2x-z$，通过平移直线或直接代入顶点坐标对比求出 $z$ 的最大值。

✅【答案】

点击查看答案

$5$

✍【详细解析】

Abstract

画出由约束条件 $\{\begin{array}{l}y\le x\\ x+y\ge 1\\ x\le 2\end{array}$ 围成的平面区域。 联立边界直线求出可行域的三个顶点坐标：

• 联立 $\{\begin{array}{l}y=x\\ x+y=1\end{array}⟹A\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$
• 联立 $\{\begin{array}{l}y=x\\ x=2\end{array}⟹B(2,2)$
• 联立 $\{\begin{array}{l}x+y=1\\ x=2\end{array}⟹C(2,-1)$

将目标函数转化为 $y=2x-z$，当直线在 $y$ 轴上的截距 $-z$ 最小，即 $z$ 取最大值。 分别将顶点坐标代入 $z=2x-y$ 计算：

• 当 $x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$ 时，$z=2\times \frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0.5$；
• 当 $x=2,y=2$ 时，$z=2\times 2-2=2$；
• 当 $x=2,y=-1$ 时，$z=2\times 2-(-1)=5$。

对比可知，$z$ 的最大值为 5。

【答案】：5

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划的可行域绘制与目标函数求最值。
2. 核心方法：顶点代入法（由于线性目标函数最值必在多边形可行域顶点出取得）。
3. 避坑指南：目标函数 $z=2x-y$ 中 $y$ 的系数为负，故 $z$ 最大对应直线截距最小，平移直线时需注意方向。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于人教A版必修五3.3节《简单线性规划》基础练习题。
2. 结论推广：线性规划最优解问题中，若可行域为有界多边形，线性目标函数 $z=ax+by$ 的极值一定在多边形的顶点或边界线上取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-09 填-线性规划最值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域