2010-湖北卷理-16 解-两角和差

本题导读

本题考查三角恒等变换（积化和差与两角和差公式）、三角函数的最小正周期以及利用辅助角公式求三角函数最值与极值点集合。

📌【题干】

Question

（2010年湖北卷(理)） 已知函数 $f(x)=\cos \left(\frac{\pi }{3}+x\right)\cos \left(\frac{\pi }{3}-x\right)$，$g(x)=\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{1}{4}$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的最小正周期；

(2) 求函数 $h(x)=f(x)-g(x)$ 的最大值，并求使 $h(x)$ 取得最大值的 $x$ 的集合.

🔍【思路分析】

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1. 利用积化和差公式或两角和（差）余弦公式展开 $f(x)$，化简为 $f(x)=\frac{1}{2}\cos 2x-\frac{1}{4}$，求出最小正周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }$。
2. 将 $f(x)$ 与 $g(x)$ 代入 $h(x)=f(x)-g(x)$，利用辅助角公式化为 $h(x)=A\cos (\omega x+\phi )$ 的形式。
3. 根据余弦函数性质确定最大值及对应的 $x$ 极值点集合。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 利用两角和与差的余弦公式展开 $f(x)$： $f(x)=\left(\cos \frac{\pi }{3}\cos x-\sin \frac{\pi }{3}\sin x\right)\left(\cos \frac{\pi }{3}\cos x+\sin \frac{\pi }{3}\sin x\right)$ $f(x)={\cos }^2\frac{\pi }{3}{\cos }^{2}x-{\sin }^2\frac{\pi }{3}{\sin }^{2}x=\frac{1}{4}{\cos }^{2}x-\frac{3}{4}{\sin }^{2}x$ 利用降幂公式 ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$，${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ 代入化简： $f(x)=\frac{1}{4}\times \frac{1+\cos 2x}{2}-\frac{3}{4}\times \frac{1-\cos 2x}{2}=\frac{1}{2}\cos 2x-\frac{1}{4}$ （另法：直接利用积化和差公式 $\cos A\cos B=\frac{1}{2}[\cos (A+B)+\cos (A-B)]$，得 $f(x)=\frac{1}{2}\left[\cos \frac{2\pi }{3}+\cos 2x\right]=\frac{1}{2}\cos 2x-\frac{1}{4}$）。

因为 $\omega =2$，所以 $f(x)$ 的最小正周期为： $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{2}=\pi$

(2) 由题意，构建函数 $h(x)$： $h(x)=f(x)-g(x)=\left(\frac{1}{2}\cos 2x-\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{2}\cos 2x-\frac{1}{2}\sin 2x$ 利用辅助角公式提公因式与合并： $h(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos 2x-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2x\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$

因为 $\cos \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)\le 1$，所以 $h(x)$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。

当 $h(x)$ 取得最大值时，需满足： $2x+\frac{\pi }{4}=2k\pi (k\in \mathbb{Z})$ 解得： $x=k\pi -\frac{\pi }{8}(k\in \mathbb{Z})$

故使 $h(x)$ 取得最大值的 $x$ 的集合为： $\left\{x|x=k\pi -\frac{\pi }{8},k\in \mathbb{Z}\right\}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数的降幂与积化和差公式、辅助角公式 $a\sin \theta +b\cos \theta =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta +\varphi )$、三角函数周期的计算与极值点求解。
2. 核心方法：化简为单一三角函数形式 $y=A\cos (\omega x+\phi )$，进而统一分析周期与最值。
3. 避坑指南：写极值点 $x$ 的集合时，必须写成集合的形式（带大括号），且千万不能遗漏条件 $k\in \mathbb{Z}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于人教A版必修四第三章《三角恒等变换》中关于积化和差与辅助角公式综合应用的例题改编。
2. 结论推广：形如 $f(x)=\cos (\alpha +x)\cos (\alpha -x)={\cos }^2\alpha -{\sin }^{2}x=\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}\cos 2\alpha$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数