2010-湖北卷理-18 解-二面角

本题导读

本题考查四面体中线线垂直的证明、线段比值的计算以及二面角的平面角的余弦值求解。

📌【题干】

Question

（2010年湖北卷(理)） 如图，在四面体 $ABOC$ 中，$OC\perp OA$，$OC\perp OB$，$\angle AOB=120^{\circ }$，且 $OA=OB=OC=1$.

(1) 设 $P$ 为 $AC$ 的中点，证明：在 $AB$ 上存在一点 $Q$，使 $PQ\perp OA$，并计算 $\frac{AB}{AQ}$ 的值；

(2) 求二面角 $O-AC-B$ 的平面角的余弦值.

🔍【思路分析】

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1. 因为 $OC\perp OA$ 且 $OC\perp OB$，故 $OC\perp$ 平面 $AOB$。可取 $O$ 为原点建立空间直角坐标系，或用几何法取 $OA$ 中点 $M$，利用线面垂直分析 $Q$ 点位置。
2. (1) 设 $\overrightarrow{AQ}=\lambda \overrightarrow{AB}$，用坐标写出 $\overrightarrow{PQ}$ 与 $\overrightarrow{OA}$，由数量积 $\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{OA}=0$ 解出 $\lambda$，进而求出 $\frac{AB}{AQ}=\frac{1}{\lambda }$。
3. (2) 求出平面 $OAC$ 与平面 $ABC$ 的法向量，利用向量夹角公式计算二面角的余弦值。

✅【答案】

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𝐴𝐵𝐴𝑄=3；二面角𝑂−𝐴𝐶−𝐵的平面角余弦值为√155.

✍【详细解析】

Abstract

因为 $OC\perp OA$，$OC\perp OB$，且 $OA\cap OB=O$， 所以 $OC\perp$ 平面 $AOB$。

以 $O$ 为原点，$\overrightarrow{OA}$ 方向为 $x$ 轴正方向，$\overrightarrow{OC}$ 方向为 $z$ 轴正方向，在平面 $AOB$ 内过 $O$ 作垂直于 $OA$ 的直线为 $y$ 轴，建立空间直角坐标系 $O-xyz$。 由题意，$OA=OB=OC=1$，$\angle AOB=120^{\circ }$，得各点坐标： $O(0,0,0)$，$A(1,0,0)$，$C(0,0,1)$，$B\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$。

因为 $P$ 为 $AC$ 的中点，所以 $P\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)$。

(1) 假设在 $AB$ 上存在一点 $Q$，设 $\overrightarrow{AQ}=\lambda \overrightarrow{AB}$ ($0\le \lambda \le 1$)。 向量 $\overrightarrow{AB}=\left(-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$，则： $Q=A+\lambda \overrightarrow{AB}=\left(1-\frac{3}{2}\lambda ,\frac{\sqrt{3}}{2}\lambda ,0\right)$ $\overrightarrow{PQ}=\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\lambda ,\frac{\sqrt{3}}{2}\lambda ,-\frac{1}{2}\right)$ 由 $PQ\perp OA$，且 $\overrightarrow{OA}=(1,0,0)$，可得： $\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{OA}=\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\lambda \right)\times 1=0⟹\lambda =\frac{1}{3}$ 因为 $\frac{1}{3}\in [0,1]$，所以在线段 $AB$ 上存在点 $Q$ 使得 $PQ\perp OA$。 此时 $\overrightarrow{AQ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，即： $\frac{AB}{AQ}=3$

(2) 平面 $OAC$ 在 $xOz$ 平面上，其法向量可取为 ${\mathbf{n}}_1=(0,1,0)$。

设平面 $ABC$ 的法向量为 ${\mathbf{n}}_2=(x,y,z)$。 已知 $\overrightarrow{AC}=(-1,0,1)$，$\overrightarrow{AB}=\left(-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$。 由 $\{\begin{array}{l}{\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{AC}=0\\ {\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{AB}=0\end{array}$ 得： $\{\begin{array}{l}-x+z=0\\ -\frac{3}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y=0\end{array}$ 取 $x=1$，得 $z=1$，$y=\sqrt{3}$，所以 ${\mathbf{n}}_2=(1,\sqrt{3},1)$。

设二面角 $O-AC-B$ 的平面角为 $\theta$，由图可知 $\theta$ 为锐角： $\cos \theta =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}=\frac{\sqrt{3}}{1\times \sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2+1^2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$

故二面角 $O-AC-B$ 的平面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直性质、空间直角坐标系的建立、向量法求二面角。
2. 核心方法：建系法将几何关系转化为向量数量积运算，利用法向量夹角公式求二面角。
3. 避坑指南：(1) 中求得 $\lambda =\frac{1}{3}$ 后需注意题目所求为 $\frac{AB}{AQ}$（即 $\frac{1}{\lambda }=3$），切勿颠倒混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于人教A版选修2-1第三章《空间向量与立体几何》中利用向量证明垂直与求空间角的经典压轴题。
2. 结论推广：若 $OC\perp OA$ 且 $OC\perp OB$，以 $O$ 为顶点的三棱锥体积为 $V=\frac{1}{6}OA\cdot OB\cdot OC\cdot \sin \angle AOB$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-江苏卷-22 解-空间向量与二面角
• 2013-重庆卷理-19 解-利用空间向量求二面角
• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程