2010-湖南卷文-11 填-几何概型长度

本题导读

考查几何概型。区间 $[-1,2]$ 长 3，$[0,1]$ 长 1，所求概率 $P=\frac{1}{3}$。

📌【题干】

Question

（2010年湖南卷(文)） 在区间 $[-1,2]$ 上随机取一个数 $x$，则 $x\in [0,1]$ 的概率为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 等可能取值于区间，属长度型几何概型。
2. $P=\frac{\text{目标区间长}}{\text{全区间长}}$。

✅【答案】

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$\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由几何概型（长度型），区间 $[-1,2]$ 的长度为 $2-(-1)=3$， 满足 $x\in [0,1]$ 的区间长度为 $1-0=1$. 故所求概率 $P=\frac{1}{3}.$ 故填 $\frac{1}{3}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：长度型几何概型

核心方法：$P=\frac{\text{目标区间长度}}{\text{总区间长度}}=\frac{1}{3}$

避坑指南：区间 $[-1,2]$ 长度是 $2-(-1)=3$，负端点别算成 $2-1$；几何概型分母是全区间，分子是满足条件的子区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向区间内随机取数是长度型几何概型的标准模型。

结论推广：$PA.=\frac{\text{muA}.}{\mu (\Omega )}$，一维用长度、二维用面积。

方法推广：先画数轴标出总区间与目标区间，再作比；端点包含与否不影响概率。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-11 单-几何概型
• 2009-辽宁卷文-09 单-半圆几何概型
• 2011-福建卷文-07 单-几何概型面积
• 2012-北京卷文-03 单-几何概型面积