2008-江苏卷-06 填-几何概型面积

本题导读

本题考查几何概型（面积型）：区域 $D$ 是边长 $4$ 的正方形，$E$ 是其内切单位圆，概率即面积比。

📌【题干】

Question

（2008年江苏卷） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，设 $D$ 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 $2$ 的点构成的区域，$E$ 是到原点的距离不大于 $1$ 的点构成的区域. 向 $D$ 中随机投一点，则所投的点落在 $E$ 中的概率是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. $D$：$|x|⩽2$ 且 $|y|⩽2$，是边长 $4$ 的正方形，面积 $16$。
2. $E$：$x^2+y^2⩽1$，是单位圆，面积 $\pi$。
3. 几何概型概率等于面积之比。

✅【答案】

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$\frac{\pi }{16}$

✍【详细解析】

Abstract

区域 $D=\{(x,y)\mid |x|⩽2,|y|⩽2\}$ 是边长为 $4$ 的正方形，面积 $S_D=16$。 区域 $E=\{(x,y)\mid x^2+y^2⩽1\}$ 是单位圆，面积 $S_E=\pi$，且 $E$ 完全含于 $D$ 内。 由几何概型，所求概率 $P=\frac{S_E}{S_D}=\frac{\pi }{16}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：几何概型（面积型）

核心方法：构成区域的面积之比

避坑指南：先确认小区域完全含于大区域；$D$ 是正方形不是圆盘，面积是 $16$ 不是 $4\pi$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 辽宁文第 9 题、2010 湖南文第 11 题同为几何概型。

结论推广：几何概型的测度可以是长度、面积或体积，按区域维度选。

方法推广：投点类问题先画图确认两区域的包含关系，再作面积比。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2009-辽宁卷文-09 单-半圆几何概型
• 2009-山东卷文-11 单-几何概型
• 2010-湖南卷文-11 填-几何概型长度
• 2011-湖南卷文-15 填-圆与直线几何概型