2010-湖南卷理-05 单-对数

本题导读

本题考查定积分的基础计算及对数性质化简。

📌【题干】

Question

（2010年湖南卷(理)） ${\int }_2^4\frac{1}{x}\mathrm{d}x$ 等于 ()

A. $-2\ln 2$　　　　　　B. $2\ln 2$　　　　　　C. $-\ln 2$　　　　　　D. $\ln 2$

🔍【思路分析】

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1. 确定原函数为 $\ln |x|$。
2. 利用牛顿-莱布尼茨公式代入上限 4 和下限 2 计算。
3. 利用对数运算法则 $\ln 4=2\ln 2$ 进行化简。

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D

✍【详细解析】

Abstract

根据微积分基本定理： ${\int }_2^4\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln x{|}_2^4=\ln 4-\ln 2$ 因为 $\ln 4=\ln (2^2)=2\ln 2$， 所以： ${\int }_2^4\frac{1}{x}\mathrm{d}x=2\ln 2-\ln 2=\ln 2$ 故选 D.。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：基本初等函数的导数逆运算与定积分计算。
2. 核心方法：牛顿-莱布尼茨公式 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$。
3. 避坑指南：注意对数的减法法则 $\ln 4-\ln 2=\ln \left(\frac{4}{2}\right)=\ln 2$，勿将减法误算为除法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于人教A版选修2-21.6节《微积分基本定理》例题。
2. 结论推广：${\int }_a^b\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln \left|\frac{b}{a}\right|$ ($ab>0$)。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-01 填-对数反函数
• 2011-北京卷文-03 单-对数不等式比较
• 2011-四川卷理-13 填-对数