2010-湖南卷理-08 单-绝对值不等式

本题导读

本题考查新定义函数 $f(x)=\min \{|x|,|x+t|\}$ 的几何意义及对称轴性质。

📌【题干】

Question

（2010年湖南卷(理)） 用 $\min \{a,b\}$ 表示 $a,b$ 两数中的最小值. 若函数 $f(x)=\min \{|x|,|x+t|\}$ 的图象关于直线 $x=-\frac{1}{2}$ 对称，则 $t$ 的值为 ()

A. $-2$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $-1$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

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1. 分析 $y=|x|$ 与 $y=|x+t|$ 的对称轴（分别为 $x=0$ 和 $x=-t$）。
2. 根据 $\min \{|x|,|x+t|\}$ 的图象几何特征，其对称轴必为两函数零点 $0$ 与 $-t$ 的中点。
3. 由中点坐标公式 $\frac{0+(-t)}{2}=-\frac{1}{2}$ 求解 $t$。

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D

✍【详细解析】

Abstract

函数 $y_1=|x|$ 的图象关于 $x=0$ 对称，零点为 $x=0$； 函数 $y_2=|x+t|$ 的图象是由 $y=|x|$ 沿 $x$ 轴平移 $|t|$ 个单位得到的，其对称轴为 $x=-t$，零点为 $x=-t$。

函数 $f(x)=\min \{|x|,|x+t|\}$ 的图象在两零点 $0$ 和 $-t$ 之间呈“M”型或“W”型轴对称图形，其整体图形的对称轴为两零点连线段的中点： $x=\frac{0+(-t)}{2}=-\frac{t}{2}$ 由题意，图象关于直线 $x=-\frac{1}{2}$ 对称，所以： $-\frac{t}{2}=-\frac{1}{2}⟹t=1$ 故选 D.。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值函数的图象特征与对称性。
2. 核心方法：数形结合法，通过找函数图象的几何特征点（零点/对称中心）求解。
3. 避坑指南：代数法验证也可利用 $f\left(-\frac{1}{2}+x\right)=f\left(-\frac{1}{2}-x\right)$，取 $x=\frac{1}{2}$ 代入方程快速检验。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于人教A版必修一《函数与方程》关于函数图象变换与对称性的创新综合题。
2. 结论推广：函数 $f(x)=\min \{|x-a|,|x-b|\}$ 的对称轴方程为 $x=\frac{a+b}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性