2010-湖南卷理-10 填-切割线定理

本题导读

本题考查选修4-1《几何证明选讲》中切割线定理的应用与线段长度计算。

📌【题干】

Question

（2010年湖南卷(理)） 如图所示，过 $\odot O$ 外一点 $P$ 作一条直线与 $\odot O$ 交于 $A,B$ 两点. 已知 $PA=2$，点 $P$ 到 $\odot O$ 的切线长 $PT=4$，则弦 $AB$ 的长为$\underline{}$ .

🔍【思路分析】

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1. 根据切割线定理写出代数等式：$P{T}^2=PA\cdot PB$。
2. 代入已知 $PT=4$，$PA=2$ 求出割线长 $PB$。
3. 利用 $AB=PB-PA$ 计算弦长 $AB$。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

因为 $PT$ 是 $\odot O$ 的切线，$PAB$ 是 $\odot O$ 的割线， 由切割线定理得： $P{T}^2=PA\cdot PB$ 代入 $PT=4$，$PA=2$： $4^2=2\times PB⟹16=2\times PB⟹PB=8$ 所以弦长 $AB$ 为： $AB=PB-PA=8-2=6$

【答案】：6

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：切割线定理（切线长的平方等于割线与其外部线段的乘积）。
2. 核心方法：公式法 $P{T}^2=PA\cdot PB$。
3. 避坑指南：求出 $PB=8$ 后切勿直接当作答案，题目所求为弦长 $AB=PB-PA$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于人教A版选修4-1《几何证明选讲》圆的切线与割线性质的例题。
2. 结论推广：由圆幂定理，过圆外一点 $P$ 引切线 $PT$ 与割线 $PAB$，恒有 $P{T}^2=PA\cdot PB=O{P}^2-R^2$。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

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