2010-湖南卷理-11 填-几何概型

本题导读

本题考查几何概型中的长度型概率计算及绝对值不等式的解集区间。

📌【题干】

Question

（2010年湖南卷(理)） 在区间 $[-1,2]$ 上随机取一个数 $x$，则 $|x|\le 1$ 的概率为$\underline{}$ .

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求解总区间 $[-1,2]$ 的长度为 $2-(-1)=3$。
2. 解绝对值不等式 $|x|\le 1$ 得 $-1\le x\le 1$，计算该目标区间的长度为 $1-(-1)=2$。
3. 利用几何概型概率公式 $P=\frac{\text{目标区间长度}}{\text{总区间长度}}$ 求解。

✅【答案】

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$23$

✍【详细解析】

Abstract

区间 $[-1,2]$ 构成的总区域长度为 $L_{\text{总}}=2-(-1)=3$。 解不等式 $|x|\le 1$，得到满足条件的 $x$ 范围为 $[-1,1]$。 则事件“$|x|\le 1$”构成的目标区域长度为 $L_{\text{目标}}=1-(-1)=2$。 由几何概型概率公式得所求概率为： $P=\frac{L_{\text{目标}}}{L_{\text{总}}}=\frac{2}{3}$

【答案】：$\frac{2}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：长度型几何概型的计算。
2. 核心方法：公式法 $P=\frac{\text{muD}.}{\mu (\Omega )}$。
3. 避坑指南：注意目标区间 $[-1,1]$ 是否完全落于总区间 $[-1,2]$ 内，如若超出现需取交集。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于人教A版必修三第三章《概率》几何概型例题。
2. 结论推广：对区间 $[a,b]$ 上均匀分布的随机变量 $X$，若事件区间为 $[c,d]\subseteq [a,b]$，则 $P(c\le X\le d)=\frac{d-c}{b-a}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-06 填-分式不等式
• 2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立
• 2011-上海卷理-15 单-基本不等式